Archive for 七月, 2007
星期天, 七月 29th, 2007
素理想
理想几乎可以说是可换环论中最重要的概念。传统的可换环论就是理想论。这发端是Dedekind为了把整数可以唯一分解为素数的乘积这一性质推广到更一般的整数环（即 ℤ 的扩张环）上，而发现了现在被称为Dedekind环上的素理想分解的性质。比如说，中 6 可以分解为 2 ∙ 3 或者 ，这分解就不是唯一的；但是 6 生成的理想 ( 6 ) 分解为四个素理想 , , , 的积。而且我们有 , 和 , 分别对应于 6 的两种分解。也就是说， 2、 3、 、 做为元来说虽然不能继续分解了，但它们各自所生成的理想是可以继续分解的。并且这素理想的分解是唯一的。这美好的性质让Dedekind把像 这样的东西称为“理想数”，这也就是“理想”这个名词的由来。把注意力从环中的各个元转移到环中的各个理想让我们对环的理解有了质的飞跃。当然现在我们对于可换环论有从同调代数和代数几何等方向切入的多种视角，在数论中也有类体论，环中的理想论则变成了基础中的基础。
理想有时候用大写字母 I, J 来表示，但更多时候（为了强调我们把注意力从元转移到了理想）用小写的花体字母（其实应该是德语字母，但是我找不到那样的字体，只好凑和了）a, b, c, … 来表示。由元 a, b, …, c 所生成的理想（即把环本身看成是那个环上的加群而由 a, b, …, c 所生成的子群）通常写为 ( a, […]
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星期六, 七月 28th, 2007
可换环的构造方法
从现在起，提到环都认为是可换环，体都认为是可换体。
环的扩张
设 B 是环， A 是 B 的子环。设 a, b, c, … 是 B 的一些元，则 A [ a, b, c, … ] 理解为 B 中那些可以表成以 A 中元为系数的 a, b, c, … 的多项式的元的集。这是 B 中包含 A 和 a, b, c, … 的最小的环。这被称为把 a, b, c, … 添加于 A 中而生成的环，a, b, c, … 称为其（在 A 上的）生成系。当生成系是有限的时候，就称之为 A 上的有限生成代数。注意一个 […]
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星期四, 七月 26th, 2007
题外话
OS换成了Fedora Core 5，然后打开这里一看简直惨不忍睹。为了让这东西在Linux下看来也还能忍受，花了不少力气来改写以前的文章。改写之后的效果，我的感觉是Mac的Safari最好，Windows的IE次之，Fedora Core 的Mozilla Firefox最差。真奇怪，我以前一直用Windows，写这东西的时候根本没有考虑Mac，CSS里也没有专门为Mac设定字体，但即使如此用Safari打开来一看就是漂亮。苹果到底不简单。
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星期一, 七月 16th, 2007
一堆定义
环是一个集，在上面定义了加法和乘法两种运算，环的元关于加法做成可换群，关于乘法做成幺半群，加法和乘法之间由分配律联系起来。具体写出来就是下面的公理：
加法交换律。 a + b = b + a
加法结合律。 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
存在 0，对于任意 a 都有 0 + a = a
对于任意 a，都存在 a 的相反数 -a，满足 a + ( -a ) = 0
乘法结合律。 ( ab ) c = a ( bc )
存在 1，对于任意 a 都有 1a […]
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星期天, 七月 15th, 2007
一点点群论（三）
有限群
有限群是可以数出个数来的。这“个数”的存在虽然看起来不起眼但其实是非常强力的条件。最明显的，设群 G 中有一个 m 阶的子群 N（即 N 含有 m 个元。一般地把有限群所含有的元的个数称为这个群的阶），则 N 的任意一个左（右）旁系显然都正好有 m 个元。这样我们就立即有下面的定理：
定理。如果 n 阶群 G 有一个 m 阶子群 H，则 m 是 n 的约数，而 n / m 是 H 的左（右）旁系的个数。
由这定理又立即作出下面的推论：
推论1。对 n 阶群 G 的任意元 a 都有 an = 1。
推论2。素数阶群 G 是循环的、单纯的。
证明只要考虑到 G 中任何一元的阶（元 a 的阶定义为由 a 所生成的子群的阶，易知这是满足条件 ad = 1 的最小的自然数 d）都是 | G […]