在公理化集合论的叙述中，集合 A 到集合 B 的映射被定义为集合 A × B 中满足下列条件的子集 F：
“对于 A 中每一个元 a，都唯一存在一个 B 中的元 b，使得 ( a, b ) 是 F 中的元。”
但是这种技术上的定义怎么都好。所谓 A 到 B 的映射就是说对于 A 中每一个元 a，都指定了 B 中的一个元 b 和 a 对应。如果我们把映射记为 f: A → B，那么这个对应通常写成 f ( a ) = b 或者 af = b（我们有时会想要把 f 写在 a 的右边，那么就是这样写）。这时我们说 b 是 a 的（关于映射 f 的）像。至于映射的技术上的定义的唯一用处，只是在于说明从 A 到 B 的所有映射组成了一个集合。这个集合有时记为 BA。

虽然我前面说过，数学中所要讨论的问题——命题，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题；但这并不是说数学就是关于各种性质的集合和各种集合的性质的学科。数学，是关于结构和结构保持的映射的学科（MacLane语）。这话的意思是说映射是比集合更基本更重要的概念。说“数学的一切奥秘都隐藏在映射中”（我的话），这话我想一点也不为过。在我看来，数学的一切神秘力量都起因于我们对这个世界的真理的认识的先天的不平等性。我们对有些东西知道的多一些，有的少一些；大概在上帝看来费马大定理和 1 + 1 = 2 是一样显然的，但是在我们看来费马大定理一点也不显然。而数学所做的，一言以蔽之就是把不那么容易理解的东西，“保持它的某些结构不变”，“映射”到我们容易理解的东西上面。我们充分地理解容易理解的东西，然后通过这个映射，（因为它是保持了“某些结构”不变的，）来推测出不容易理解的东西的性质。可以说每发现这样一个映射，我们对这个世界的了解都切实地大大前进了一步。

至于什么是“结构”什么又叫做“保持结构不变”的映射，虽然这在Bourbaki里是有严格的定义的（本来“结构”的概念就是由Bourbaki提出来的；这和同时期法国的“结构主义”哲学究竟有还是没有关联，就不是我所知道的了），但是我们尽可以把结构直观地理解成“集合的元的相互之间的关系”，而说把这个集合映到那个集合的一个映射“保持结构不变”，意思自然是说如果在这个集合里的一些元满足一些关系，那么这些元被映射映到那个集合里去的“像”之间，也同样满足这些关系。

假设有映射 f: A → B 和 g: B → C，我们显然可以定义一个映射 g ∘ f: A → C，把任意元 a∈A 映到 g ( f ( a ) ) ∈C。这叫做映射的“合成”或者“乘法”。有时我们会希望把这乘法写成 fg 的样子，这时我们就说 fg 把任意元 a∈A 映到 ( af ) g∈C。

命题。映射的合成满足结合律。也就是说假设有映射 f: A → B ，g: B → C，h: C → D，则 h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f

证明是显然的。这只是把一件显然的事用记号表达出来。逻辑推理虽然只是把一些显然的事连接起来，但是连接的多了就会累了。但是如果把推理变成记号的演算，就不显得那么累。这也算是“把不容易理解的东西化成容易理解的东西”的一例吧。

定义。假设有映射 f: A → B，对于 A 的子集 U，把 f ( U ) ⊆ B 定义为 f ( U ) := { x∈B | ∃u∈U s.t. f ( u ) = x }。和对于 A 的元的说法一样，我们把 f ( U ) 也称为 U 的像。

如果你完全不明白这堆符号的意思，请看前一篇末尾处的记号表。这个定义直译过来就是说， f ( U ) 是由 B 中满足这样条件的元 x 所组成的集合：存在一个 U 中的元 u，使得 u 的像正好是 x。我们喜欢用这样的记号而不是用“把 U 的元通过映射 f 映到 B 得到的所有像的集合”这样的句子来表示，我觉得很大程度上是因为记号的笔画比较少，在黑板上写起来比较容易。但是在电脑上写起来就正好反过来了。不过为了让这文章“看起来像数学”，我还是喜欢时不时用记号。真的，对我们来说，记号更为明确而且通常比文字更易懂。只要在纸上写过几遍，我想你也一定马上会习惯的。

定义。假设有映射 f: A → B，对于 B 的子集 V，把 f-1 ( V ) ⊆ A 定义为 f-1 ( V ) := { x∈A | f ( x ) ∈V }。我们把 f-1 ( V ) 称为 V 的原像或者逆像。直观说来就是， f-1 ( V ) 是 A 中所有被 f 映到 V 的元的集合。

命题。假设有映射 f: A → B。
对于 B 的子集 R、 S，我们有
f-1 ( R ∪ S ) = f-1 ( R ) ∪ f-1 ( S )，
f-1 ( R ∩ S ) = f-1 ( R ) ∩ f-1 ( S )；
对于 A 的子集 P、 Q，我们有
f ( P ∪ Q ) = f ( P ) ∪ f ( Q )，
f ( P ∩ Q ) ⊆ f ( P ) ∩ f ( Q )。

证明是容易的。如果你从没有尝试过，请试着证明它。这个命题唯一不那么美好的部分是最后一条 f ( P ∩ Q ) ⊆ f ( P ) ∩ f ( Q ) 中的包含关系不能改成等于。这起因于 A 中两个不同的元的像可能会相等。从这个命题也可以看出一些端倪，一般来说，原像的性质常常比像的性质要好。

定义。对于映射 f: A → B，如果 f ( A ) = B，则说 f 是一个全射；如果 A 中两个不同的元的像总是不同，则说 f 是一个单射。如果一个映射既是全射也是单射，则称之为全单射或一一对应。

虽然从定义中完全看不出来，但是在很多情况下全射的概念和单射的概念是有一定的对称性的。这从下面这个命题中可以看出一些迹象：

命题。假设有映射 f: A → B。则
f 是单射的充分必要条件是：
对于任意两个映射 g1, g2: L → A，只要 f ∘ g1 = f ∘ g2，就有 g1 = g2；
f 是全射的充分必要条件是：
对于任意两个映射 h1, h2: B → R，只要 h1 ∘ f = h2 ∘ f，就有 h1 = h2。

这是一个从范畴论的观点来看的命题。范畴论是一门充分强调映射（或者更广泛的说，保持某种“结构”的映射）在数学中的基础地位的理论，它的口号是所有概念都用映射之间的相互关系（而不是元与集合之间或集合与集合之间的相互关系）来表达。现在大家都说范畴论是和集合论一样基础的理论。至于这个命题本身的证明是容易的。如果你没有试过，请尝试。（我还没有定义什么叫做两个映射相等，不过把两个映射相等理解成它们“把同样的元映到同样的像”，应该是没有任何异议的）

定义。对于任意集合 A，存在一个恒等映射 idA: A → A，把每个元映到其自身。显然对于任意的映射 f: A → B，我们有 f ∘ idA = idB ∘ f = f

这定义看起来似乎完全是没事找事。但是从范畴论的观点来看，我们与其说“一个集合 A”，还不如说“一个恒等映射 idA”。因此从强调映射的角度来看，这也不完全是吃饱了撑的。更重要的是我们需要恒等映射来定义同构的概念：

定义。我们说一个从 A 到 B 的映射（或者更广泛的说，保持某种结构不变的映射） f 是一个同构，当且仅当存在一个从 B 到 A 的（同样保持这种结构不变的）映射 g，满足 g ∘ f = idA， f ∘ g = idB。这时我们把 g 叫做 f 的逆。显然逆如果存在，一定是唯一的。

一个从 A 到 B 的（保持某种结构不变的）映射是一个同构，意味着我们把 A 的元对应到 B 中来讨论的对应过程中（仅就所保持的这种结构而言）没有任何信息的丢失或者增加。因此这当然是十分重要的概念。

同构当然是全单射。而仅就单纯的集合之间的映射而言，全单射显然也一定是一个同构（也就是说全单射一定有逆映射）。但是如果我们考虑了某种结构，一个保持这种结构的全单射是否是一个同构，就是另一个问题了。这是因为对于一个保持某种结构的全单射，虽然存在它的一个忽视结构的集合论意义上的逆，但这个逆是否一定也会保持这种结构，这和要考虑的结构有关。比如保持群结构的全单射一定是同构，但是保持偏序结构的全单射就不一定。