集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。比如说一个自然数 3 ，或者一个字母 x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。于是就有了空集合（空集公理）。我们把空集合定义为 0。把集合 { 0 } 定义为 1。把 { 0, 1 } 定义为 2。把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。依此类推。上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。）

不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。我不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。

集合的定义方法。

  • { a, b, c }      列举。a、b、c 组成的集合。
  • { x∈A | 命题 }      集合 A 中满足命题的所有元组成的子集。注意这里有 x∈A（ x 属于 A ）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。
  • ℘ ( A )      幂集合。集合 A 的所有子集组成的集合。
  • A ∐ B      非交和。把集合 A 的元和集合 B 的元合在一起看成是一个集合。A 的元与 B 的元总看成是不同的。
  • A × B      笛卡儿积。集合 A 的元 a 与集合 B 的元 b 构成的顺序对 ( a, b ) 全体组成的集合。
  • ∏ Aλ ( λ∈Λ )      给集合 Λ 中的每一个元 λ 对应集合 Aλ 中的一个元，所有这样的对应全体组成的集合。如果 Λ = { 1, 2 }，这就是 A1 与 A2 的笛卡儿积。因此这可以看成是笛卡儿积的推广版。
  • ∐ Aλ ( λ∈Λ )      非交和的推广版。由集合 Λ 中的一个元 λ 和集合 Aλ 中的一个元 aλ 组成的有序对 ( λ, aλ ) 全体所组成的集合。如果 Λ = { 1, 2 }，这就是 A1 与 A2 的非交和。
  • A ∪ B      集合 A 与集合 B 的合并。
  • A ∩ B      集合 A 与集合 B 的交集。
  • A ∖ B      集合 A 中不属于集合 B 的元全体组成的子集。

记号。

  • ∅      空集合。
  • x∈A      x 属于集合 A 。通常集合的元用小写字母 a, b, … ，集合用大写字母 A, B, … ，集合的集合用大写花体字母 A, B, … 来表示。
  • ⊂, ⊃      集合的包含关系。不包括相等。
  • ⊆, ⊇      集合的包含关系。包括相等。
  • A := B      这是“把 A 定义为 B ”的意思。
  • ∀x∈A 命题      这是“集合 A 中任意一个元 x 都满足命题”的意思。记号 ∀ 是把“All”的首字母倒过来写。
  • ∃x∈A s.t. 命题      这是“集合 A 中存在一个元 x 满足命题”的意思。记号∃是把“Exist”的首字母倒过来写。s.t. 是 such that 的缩略。（读做“there exists an x in A such that …”）