群

群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元 a、 b 关于这乘法进行演算的结果，通常写为 a ∙ b 或者就简略记为 ab。乘法被要求满足下面三个条件：

  1. 结合律。 a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
  2. 存在单位元 e，对任意元 a 都有 e ∙ a = a ∙ e = a
  3. 对任意元 a，都存在 a 的逆元 a-1，满足 a ∙ a-1 = a-1 ∙ a = e

如果这乘法还满足交换律 a ∙ b = b ∙ a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为 0。单位元是唯一的，这是因为如果 d 和 e 都是单位元，则根据定义我们有 d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果 b 和 c 都是 a 的逆元，则 b = bac = c。显然 ( a-1 ) -1 = a。

在一个集合 A 上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合 A 加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群 G 到群 H 的映射 f 被称为同态映射，如果 f 满足条件：对于 G 中任意两个元 σ、 τ，总有 f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成 f 是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。

群的例子有比如说映一个集合 A 到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。这样的群称为置换群。一般来说，一个“对称”就对应了一个群。所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。

群也出现在各种基本的代数对象中。所有整数关于加法做成可换群。所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。所有 n 阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当 n ≥ 2 时这群是不可交换的。

置换群的元如前所述是映集合 A 到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合 A 上的一个 置换。一般来说，如果一个集合 Γ 的每个元都对应了映集合 A 到其自身的一个映射，我们就说 Γ 作用在 A 上。而 Γ 的某个元 γ 所对应的这个映射，就被称为 γ 在 A 上的作用。在很多时候， Γ 是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时 A 具有某种结构， Γ 的每个元在 A 上的作用都保持这结构不变。由于群的每个元都有逆元，这时 Γ 的每个元都是同构。这样的 Γ 有时被称为 A 的自同构群。

同样对于某个群 G 来说，如果有一个集合 Γ 的每个元都对应了映 G 到其自身的一个同态映射，我们就说 Γ 作用于 G 上，或说 G 是“Γ 上的群”，简称为“Γ-群”。这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。 Γ-群 G 到 Γ-群 H 的 Γ-同态映射定义为与 Γ 的作用可换的同态映射 f，即 f 是从 G 到 H 的同态映射，并且满足：对于 Γ 中任意一元 γ 和 G 中任意一元 σ，总有 f ( γσ ) = γ f ( σ )。

一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。

子群，正规子群，商群

定义。对于一个 Γ-群 G，其子群定义为满足下列条件的 G 的子集 H：

  1. H 中任意两元的积仍然属于 H
  2. H 中的元的逆元属于 H
  3. 对于 Γ 中任意一元 γ 和 H 中任意一元 h， γh 属于 H

注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于 H。

设一个 Γ-群 G 有子群 H，则对于 G 的任意两元 σ、 τ， G 的子集 σH 和 τH（ σH 定义为形如 σh ( h∈H ) 的元所组成的集。 τH 也是一样）要么不交，要么相等。这是因为如果 σH 和 τH 相交，即存在 h1、 h2 ∈H 满足 σh1 = τh2，则对于 H中任意一元 h，都有 σh = τh2h1-1h，而根据子群的定义 h2h1-1h 是 H 的元。这说明 σH ⊆ τH，而显然根据对称性反方向 σH ⊇ τH 也是成立的，于是 σH = τH。

形如 σH 的 G 的子集称为 H 的（左）旁系。由上可知左旁系将 G 分成几个互不相交的部分。对于右旁系也是一样。左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群 H 称为 G 的正规子群。更具体的说，正规子群是指 G 中满足这样条件的子群 H：对于 G 中任意一元 σ 都有 σH = Hσ。如果 G 是可换的，当然 G 的任意子群都是正规的。

设一个 Γ-群 G 有正规子群 H，则 H 的所有旁系做成的集合自然地具有 Γ-群的结构。换句话说，在 G 上规定这样一个等价关系 ~： σ ~ τ 当且仅当 σH = τH。关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有 Γ-群的结构。如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。现在在 G 中已经定义了乘法和 Γ 的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。为了看出这一点，把形如 ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ ⊆ σHτ = στH，即不管我们从 σ 和 τ 的等价类中选择了哪两个元，它们的积最后都是属于 στ 的等价类的，于是我们看到积是well-defined的。同样，对于 Γ 中任意一元 γ，因为 γ 是群的同态映射，所以 γ ( σH ) = ( γσ )( γH )，而由子群的条件 3 我们有 γH ⊆ H，所以 γ ( σH ) ⊆ ( γσ ) H，于是 γ 的作用也是well-defined的。这样在 G 的商集合上乘法和 Γ 的作用都定义好了，由于这是由原来的群 G 上的乘法和作用诱导出来的，显然它们确实满足乘法和作用所应该满足的条件（结合律什么的），因此这确实做成了一个 Γ-群。这群称为 G 的商群，记为 G / H。

同构定理

定义。设有 Γ-群 G、 H 以及 Γ-同态映射 f: G → H，我们把 f ( G ) 称为 f 的像，记为 Im f。把 f-1 ( e )（ e 是 H 的单位元）称为 f 的核，记为 Ker f。

定理。 Im f 是 H 的子群， Ker f 是 G 的正规子群。

证明。由 Γ-同态映射的定义，这基本上是显然的。 Ker f 是正规的，因为对于 G 的任意一元 σ，有 σ ( Ker f ) = f-1 ( f ( σ ) ) = ( Ker f ) σ。（证毕）

设一个 Γ-群 G 有正规子群 H，则从 G 到 G / H 的标准映射（把 G 的元 σ 映到 σ 的旁系）显然是一个全射并且是 Γ-同态，而它的核显然是 H。这件事的反之也是成立的，这就是第一同构定理。（总共有三个同构定理，它们是如此的显然以至于我几乎都不知道该如何写证明。请你也把它们如同常识一样融入自己的血液里）

定理。（第一同构定理）设有 Γ-群 G、 H 以及全射 Γ-同态映射 f: G → H。把 Ker f 记为 U，则 f 自然诱导出从 G / U 到 H 的同构。更一般的，“G 中包含 U 的子群” M 与“H 的子群” N 之间存在一一对应，这对应由 M |→ f ( M ) 和 N |→ f-1 ( N ) 给出。如果 G 中某个包含 U 的子群 P 像这样对应于 H 的一个子群 Q，则 f 自然诱导出从 P / U 到 Q 的同构。

证明。对于 G 的任意一元 σ，其关于 U 的旁系正是 G 中其像与 σ 相同的所有那些元的的集合。因此 f 自然诱导出从 G / U 到 H 的全单射。接下来只要确认在 G / U 中定义的乘法和 Γ 的作用是与 H 中的一致的，这由 f 是 Γ-同态立得。后半部分子群的一一对应，只要注意对于 G 中任意一个包含 U 的子群 M，如果 x∈M，就一定有 xU ⊆ M。因此 M 一定是由若干个 U 的旁系拼成的。（证毕）

定理。（第二同构定理）设有 Γ-群 G 和 G 的正规子群 U。则对于 G 的任意子群 M， MU = UM（ MU定义为形如 ab ( a∈M, b∈U ) 的所有元组成的集合， UM 也是一样）是 G 的子群， M ∩ U 是 M 的正规子群，并且 MU / U 与 M / ( M ∩ U ) 同构。进一步，如果 M 也是正规的，则 MU 和 M ∩ U 都是 G 的正规子群。

证明。因为 U 是正规的，MU = UM 是显然的。不难确认 MU 关于乘法、取逆元、Γ 的作用都是封闭的，于是 MU 是子群。对于 M 的元 m，显然 m ( M ∩ U ) = ( mM ) ∩ ( mU ) = M ∩ ( Um ) = ( M ∩ U ) m，所以 M ∩ U 是 M 的正规子群。如果 M 是正规的，则对于 G 的任意元 σ 都有 σ ( MU ) = ( σM ) U = MσU = ( MU ) σ 和 σ ( M ∩ U ) = ( σM ) ∩ ( σU ) = ( Mσ ) ∩ ( Uσ ) = ( M ∩ U ) σ，于是 MU 和 M ∩ U 都是 G 的正规子群。剩下我们要证明 MU / U 与 M / ( M ∩ U ) 同构，为了看到这一点我们考虑标准映射 f: G → G / U，容易知道 f-1 ( f ( M ) ) = MU，于是由第一同构定理我们知道 MU / U 与 f ( M ) 同构。另一方面如果把 f 限制在 M 上，考虑全射 f |M: M → f ( M )，显然 f |M 的核是 M ∩ U，于是再次根据第一同构定理，我们有 M / ( M ∩ U ) 与 f ( M ) 同构。（证毕）

定理。（第三同构定理）设有 Γ-群 G 和 G 的正规子群 U，并设 M 是 G 的包含 U 的子群。则 M / U 是 G / U 的正规子群当且仅当 M 是 G 的正规子群，进一步当这条件成立时我们有 G / M 与 ( G / U ) / ( M / U ) 同构。

证明。考虑商群的定义，这基本上是显然的。（证毕）

Jordan-Hölder定理和极大极小条件

同构定理的一个几乎是立即的应用体现在Jordan-Hölder定理中。为了说明这个定理我们需要先做一些定义。

定义。我们说一个 Γ-群 G 是单纯的，如果 G 的正规子群只有 { 1 } 和 G 全体。

由第一同构定理，我们知道一个单纯群 G 的同态像要么是单位元，要么就与 G 同构。

定义。Γ-群 G 的一个递降子群链 G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gn - 1 ⊃ Gn = { 1 } 如果满足条件：对于任意的 i， Gi + 1 是 Gi 的正规子群，并且 Gi / Gi + 1 是单纯的。就把这递降子群链称为 G 的组成链。各个 Gi / Gi + 1称为 G 的组成因子，n 称为组成链的长度，简称为 G 的长度。

设 Γ-群 G 有组成链 G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gn - 1 ⊃ Gn = { 1 }，其组成因子依次为 H1、 H2、…、 Hn。这时对于 G 的任意正规子群 N，我们把 N ∩ Gi 记为 Pi，把 Gi 在 G / N 中的像记为 Qi。

命题。在上述假定下， N = P0 ⊇ P1 ⊇ … ⊇ Pn - 1 ⊇ Pn = { 1 } 和 G / N = Q0 ⊇ Q1 ⊇ … ⊇ Qn - 1 ⊇ Qn = { 1 } 分别是 N 和 G / N 的（可能重复的）组成链，并且 H1、 H2、…、 Hn 正好被分配到这两条组成链中。也就是说，对于任意的 i，要么 Pi / Pi + 1 与 Hi + 1 同构而且 Qi = Qi + 1，要么 Qi / Qi + 1 与 Hi + 1 同构而且 Pi = Pi + 1。

证明。首先我们证明，对于任意的 i， Pi + 1 是 Pi 的正规子群，Qi + 1 也是 Qi 的正规子群：Pi = N ∩ Gi 是 Gi 的子群，而 Gi + 1 是 Gi 的正规子群，所以 Pi + 1 = Pi ∩ Gi + 1 是 Pi 的正规子群； Qi 可以看成是 Gi / ( N ∩ Gi )，而 Gi + 1 是 Gi 的正规子群，所以 ( N ∩ Gi ) Gi + 1 也是 Gi 的正规子群，于是 Qi + 1 = ( ( N ∩ Gi ) Gi + 1 ) / ( N ∩ Gi ) 就是 Gi / ( N ∩ Gi ) 的正规子群。接下来我们有：
\frac{Q_{i}}{Q_{i+1}}\cong\frac{G_{i}}{(N\cap G_{i})\cdot G_{i+1}},\frac{P_{i}}{P_{i+1}}=\frac{N\cap G_{i}}{(N\cap G_{i})\cap G_{i+1}}\cong \frac{(N\cap G_{i})\cdot G_{i+1}}{G_{i+1}}
由于 Gi / Gi + 1 = Hi + 1 是单纯的，而 ( N ∩ Gi ) Gi + 1 是 Gi 的正规子群，所以要么 ( N ∩ Gi ) Gi + 1 = Gi，要么 ( N ∩ Gi ) Gi + 1 = Gi + 1。（证毕）

定理。（Jordan-Hölder） G 的组成链如果存在，则其长度是一定的，而且组成因子（不记顺序但包括重复度）是唯一的。

证明。关于组成链的长度使用归纳法。如果 G 有一个长度为 1 的组成链，则 G 是单纯的，命题显然成立。现在假设 G 有一个长度为 n 的组成链 G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gn - 1 ⊃ Gn = { 1 }，要证明的是这时对于 G 的任意组成链 G = F0 ⊃ F1 ⊃ … ⊃ Fm - 1 ⊃ Fm = { 1 }，都有 m = n 并且组成因子相同。由上面的命题， F1 具有长度为 n - 1 的组成链（考虑 F1 与各 Gi 的交），于是可以使用归纳法的假定。（证毕）

注意这里组成因子虽然是唯一的，但一般来说组成链绝不是唯一的。比如 6 阶循环群 C6，显然 C6 ⊃ C3 ⊃ { 1 } 和 C6 ⊃ C2 ⊃ { 1 } 都是它的组成链。

接下来我们讨论 G 的组成链存在的条件。

定理。如果 G 是有限的，则存在组成链。

证明。取 G 的所有正规真子群的（关于包含关系的）极大元 G1（由于 G 是有限的，这总是可以取到的），然后取 G1 的所有正规真子群的极大元 G2， G2 的所有正规真子群的极大元 G3，……这样一直取下去，仍然由于 G 是有限的，所以一定会在有限回的操作后到达 { 1 }。这样取出来的递降子群链显然是组成链。（证毕）

从这证明中容易看出，组成链存在的关键在于“取XXX的极大元”和“这样一直取下去，一定会在有限回操作后到达 { 1 }”这两件事。当 G 为可换群时，这两件事陈述为极大和极小条件。

命题。对于 Γ-加群 M，以下两个条件是等价的：

  1. 不存在 M 的子群的无穷的严格递增链。
  2. M 的随便一些子群所组成的集合总有（关于包含关系的）极大元。

证明。首先如果存在 M 的子群的无穷的严格递增链，则出现在这递增链中的所有子群构成的集合显然没有极大元。反过来，如果存在一个由 M 中某些子群构成的集合没有极大元，则在这集合中取一元 M0，由于 M0 不是极大，就又有严格包含它的 M1，而且 M1 也不是极大，于是又有严格包含 M1 的 M2，像这样一直取下去（选择公理！参看前文《再说一点集合论》），就得到了一个 M 的子群的无穷的严格递增链。（证毕）

定义。我们把上面命题中等价的两个条件称为极大条件。同样地也定义极小条件。满足极大条件的加群称为Nöther加群，满足极小条件的加群称为Artin加群。

定理。 Γ-加群 M 具有组成链，当且仅当 M 满足极大和极小条件。

证明。如果 M 满足极大和极小条件，则 M 具有组成链，这和有限群的情况完全类似。反过来的主张是下面这个命题的显然的归结：

命题。设有 Γ-加群 M 和 M 的子群 N。则 M 满足极大（小）条件当且仅当 N 和 M / N 满足极大（小）条件。

证明。由于 N 的子群也是 M 的子群，并且 M / N 的子群和 M 中包含 N 的子群一一对应，所以如果 M 满足极大（小）条件，显然 N 和 G / N 也满足极大（小）条件。反过来，对于 M 中的递增（降）子群链，这子群链与 N 的交以及在 M / N 中的像显然分别是 N 与 M / N 中的子群链。如果 N 与 M / N 满足极大（小）条件，这 N 与 M / N 中的子群链总会停止。于是我们只要证明下列命题即可：
“对于 M 的子群 M1 ⊇ M2，如果 M1 ∩ N = M2 ∩ N 并且 M1 + N = M2 + N，则 M1 = M2”
这命题成立是因为：
\frac{M_1}{M_2}\cong\frac{\frac{M_1}{N\cap M_2}}{\frac{M_2}{N\cap M_2}}=\frac{\frac{M_1}{N\cap M_1}}{\frac{M_2}{N\cap M_2}}\cong\frac{\frac{M_1+N}{N}}{\frac{M_2+N}{N}}\cong\frac{M_1+N}{M_2+N}=0（证毕）

满足极大和极小条件的加群的例子，比如说体上的有限维向量空间。容易证明体上的一维向量空间（作为体上的加群来说）是单纯的，因此对于体上的有限维向量空间，考虑其每次递减一维的子空间链，这显然构成一个组成链。而Jordan-Hölder定理说，组成因子是唯一的，于是就特别地得到，体上的有限维向量空间的维数是确定的。我们甚至没有使用解多元一次方程组的消元法之类，而完全用抽象的一般论就得到了这个结果。更一般的说，Artin环（体也是Artin环的特例）上的有限生成加群总是满足极大和极小条件的，这是因为我们有“Artin环一定是Nöther环”这一显著的结果。

最后给出极大条件的另一个等价的说法。

定义。对于 Γ-群 G 和 G 的任意子集 S，考虑所有包含 S 的 G 的子群们的交，这显然也是 G 的子群，并且是包含 S 的最小的子群。把这子群称为 S 生成的群，写为 <S>。 S 则称做 <S> 的生成系。显然 <S> 是由 S 中的元经过有限次的相乘、取逆和 Γ 的作用后所能够得到的所有元组成的。当 G 具有有限的生成系时，就称 G 是有限生成的。特别的，由一个元生成的群称为循环群。

定理。 Γ-加群 M 是Nöther加群（即满足极大条件），当且仅当 M 的任意子群都是有限生成的。

证明。假设 M 满足极大条件。这时对于 M 的任意子群 N，从 N 中取一个元 n1，由 n1生成的子群如果正好等于 N，则 N 当然是有限生成的。如果不是，就再从 N ∖ <{ n1 }> 中取一个元 n2。依此类推。由于 M 是满足极大条件的，所以一定会在有限次的操作后生成 N。反之，假设 M 的任意子群都是有限生成的。这时如果有 M 的递增子群链 M1 ⊆ M2 ⊆ …，考虑所有 Mi 的合并 ∪ Mi，这显然也是 M 的子群，因此是有限生成的。生成元当然属于 ∪ Mi，而现在它们只有有限个，于是我们可以取充分大的 k 使得 Mk 包含这有限个生成元。另一方面这些生成元生成的子群 ∪ Mi 是所有包含这些生成元的子群中最小的，所以显然子群链中 Mk 之后的部分都不会再严格增大了。（证毕）