环是一个集，在上面定义了加法和乘法两种运算，环的元关于加法做成可换群，关于乘法做成幺半群，加法和乘法之间由分配律联系起来。具体写出来就是下面的公理：

  1. 加法交换律。 a + b = b + a
  2. 加法结合律。 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  3. 存在 0，对于任意 a 都有 0 + a = a
  4. 对于任意 a，都存在 a 的相反数 -a，满足 a + ( -a ) = 0
  5. 乘法结合律。 ( ab ) c = a ( bc )
  6. 存在 1，对于任意 a 都有 1a = a1 = a
  7. 分配律。 ( a + b ) c = ac + bc， c ( a + b ) = ca + cb

如果这乘法还满足交换律 ab = ba，则称为可换环。 0 和 1 都是唯一的，这和群的情况一样。而由分配律，我们对任意的 a 有 a = ( 0 + 1 ) a = 0a + a，所以 0a = 0。同样可证 a0 = 0。所以如果在某个环中有 0 = 1，则这个环只能有 0 = 1 这一个元。把这样的环称为0环。

对于环中的元 a，如果存在 b ≠ 0 使得 ab = 0，就把 a 称为左0因子。同样地可以定义右0因子。如果一个可换环除了 0 之外其他元都不是0因子，就把它称为整环。整环的所有非0元关于乘法做成可换的幺半群。整环的这个幺半群如果做成一个群，即如果非0元的乘法总是可逆的，则把这整环称为域。域的例子有有理数域 ℚ，实数域 ℝ，复数域 ℂ。如果把域的“乘法可换”的条件去掉，只要求所有非0元关于乘法做成一个群，这就称为一个体。特别把乘法不可换的体称为斜体。斜体的例子有四元数体 ℍ。

环的最初的例子是整数环，即所有整数关于加法和乘法做成的环，这是一个整环，记为 ℤ。

环 A 到环 B 的（关于环的）同态映射 f 定义为满足条件： f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )、 f ( ab ) = f ( a ) f ( b )，还有 f ( 1 ) = 1 的映射。环的同态映射如果是全单射，那它也是同构。

对于任意的环 A，我们都有从 ℤ 到 A 的唯一的同态映射 f： f 必须把 ℤ 的 1 映到 A 的 1，而 ℤ 的任意一个大于 0 的元 n 可以写成n个 1 相加，于是 f 必把 n 映到 A 中的n个 1 相加的和。 ℤ 中任意一个小于 0 的元 -n 又是 n 的相反数，于是它的像也是确定的。容易看出这样定义的映射总是同态映射，并且 ℤ 在 A 中的像与 A 中的所有元都是关于乘法可换的（因为这像总是若干个 1 的和或其相反数）。

一般地，我们把环 B 称为可换环 A 上的代数，如果规定好了一个从 A 到 B 的环同态，并且在这环同态下 B 的任意元都是和 A 的像关于乘法可换的。（ B 中与所有元关于乘法可换的元全体做成 B 的一个子环（子环的定义该是明显的吧），把这子环称为 B 的中心，写成 CB。于是 B 是 A 上的代数也就是说指定了一个从 A 到 CB 的环同态。）从上一段中我们知道任意一个环都可以看成是 ℤ 上的代数。（从“代数”这个夸张的名字，你也可以看出环和环的同态映射在整个代数学中占有多大的分量）

A-代数 B 到 A-代数 C 的（作为 A-代数的）同态映射定义为从 B 到 C 的满足条件： f ∘ τB = τC 的环的同态 f。其中 τB 和 τC 分别是规定好的从 A 到 B 和从 A 到 C 的环同态。

代数的最初的例子是域 k 上的多项式环 k [ X1, X2, …, Xn ]，即变元 X1, X2, …, Xn 的所有 k 系数多项式所组成的环。 k 到 k [ X1, X2, …, Xn ] 的环同态，当然是理解为把 k 的元原封不动地映成 k [ X1, X2, …, Xn ] 中的常数多项式。

我们看到 A-代数的概念是“相对于 A 来说的”，也就是说代数的概念是环的概念的相对版本。“数学应该是相对的”（Grothendick语），这话虽然我还没有太透彻地理解，但它到底是伟大的Grothendick说的。这大体的意思和范畴论的思想差不多，也是说我们与其讨论一个环 A（或者其他的什么结构）的性质，还不如讨论一个在XX上的代数 A，也就是从XX到 A 的映射的性质。以多项式环为例，我们讨论多项式环的结构，而不关心 k 具体是什么。

环上的加群定义为有环作用于其上的加群。要求这环的作用满足：环上的加法与加群上的加法一致，环上的乘法与作用的合成一致。如果环是非可换的，那么和群的作用一样这也有从左边作用还是从右边作用的区别。具体说来如果有一个环 R，则左 R-加群定义为这样的加群 M：

  1. R 中任意一元 r 都对应了 M 到其自身的一个（作为加群的）同态映射（即在 M 上的作用）
  2. 把 R 的作用写在左边，则作用的合成与 R 的乘法一致。即，对于 R 中的元 r 和 M 中的元 x，把 r 作用于 x 得到的像记为 rx，则对 R 中任意两元 r、 s 都有 r ( sx ) = ( rs ) x（先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 sx，得到的像正好是把 rs 作用于 x 得到的像）。
  3. R 的加法与 M 的加法一致。即对于 R 中两元 r、 s 和 M 中一元 x，有 ( r + s ) x = rx + sx

同样地可以定义右 R-加群。而对于环 R、 S，两侧 ( R, S )-加群 M 定义为： M 既是左 R-加群又是右 S-加群，并且 R 的作用与 S 的作用是可换的。具体写出来就是，对于 R 的元 r、 S 的元 s 和 M 的元 x，有 ( rx ) s = r ( xs )，即先把 r 作用于 x 再把 s 作用于 rx，或是先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 xs，得到的结果是一样的。

环 R 本身可以看成是两侧 ( R, R )-加群。如果有环同态 f: R → S，则任意左 S 加群可以通过 f 看成是左 R-加群，右 S-加群也是一样。特别的， S 可以看成是两侧 ( R, R )-加群。对于任意的加群 M，把 M 的自同态环定义为由所有 M 到其自身的同态映射，以映射的合成作为乘法做成的环。环的加法是这样定义的：设有从 M 到 M 的同态映射 f、 g，则 f + g 定义为把 M 的元 x 映到 f ( x ) + g ( x ) 的映射，由于加法是可换的所以这是一个同态映射。不难验证这样的定义确实做成了一个环。这个环通常写为 End ( M )，如果按照习惯把映射写在左边， M 可以看成是左 End ( M )-加群。由于任意的环都可以看成是 ℤ 上的代数，所以任意的环上的加群都可以看成是 ℤ-加群。特别的，Abel群都可以看成是 ℤ-加群。容易看出Abel群的子群和它作为 ℤ-加群的子群是一致的。这样环上的加群的理论就完全涵盖了Abel群的理论。

环上的加群的同态映射就是考虑了环的作用的群的同态映射，《一点点群论（一）》中的定义和定理都完全适用。当 R 是可换环时， R-加群的同态映射有时被称为 R-线性映射。

环 R 本身可以看成左 R-加群，所以我们可以考虑 R 中的左 R-子群。这有一个特别的名字叫做 R 中的左理想。同样地可以定义右理想和两侧理想。当 R 是可换环时，就称为理想。这可是数学中少有的浪漫名字，我在这里不说它的来源，你尽可以发挥想象。不过注意请不要混淆子环的概念和理想的概念。子环定义为环中包含 0、 1，关于乘法（自己的元之间的乘法）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想则是环中包含 0，关于 R 的作用（也就是乘以 R 中任意一元）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想中如果含有 1，那它一定是 R 全体。

环 R 模它的左（右）理想得到的商当然是左（右） R-加群。而 R 模它的两侧理想，得到的商不仅有两侧 ( R, R )-加群的结构，还具有环的结构。这称为 R 的商环。为了看到这一点，我们设 R 的两侧理想为 I，对于 R 中任意两元 a、 b，有(a+I)\cdot (b+I)=ab+(aI+Ib+I\cdot I)，而 I 是两侧理想，所以(aI+Ib+I\cdot I)\subseteq I，于是乘法是well-defined的。商环通常写为 R / I， R 的两个元 a、 b 在 R / I 中的像如果相等，就写为 a = b ( mod I )。

如果 f: A → B 是一个环同态，（与群的情况类似）把 f ( A ) 称为 f 的像，写成 Im f， f-1 ( 0 ) 称为 f 的核，写成 Ker f。容易看出 Im f 是 B 的子环， Ker f 是 A 的两侧理想。如果 f 是全射，则 f 自然诱导出从商环 A / Ker f 到 B 的同构。这时 B 的左 B-子群，与通过 f 把 B 看成左 A-加群时的左 A-子群是一致的。并且 f 显然也是 A-加群的同态映射。于是根据群的第一同构定理， B 的左理想与 A 中包含了 Ker f 的左理想之间存在一一对应。把这段话中的“左”全部换成“右”或者“两侧”也是成立的。这就是所谓的理想对应。