从现在起，提到环都认为是可换环，体都认为是可换体。

环的扩张

设 B 是环， A 是 B 的子环。设 a, b, c, … 是 B 的一些元，则 A [ a, b, c, … ] 理解为 B 中那些可以表成以 A 中元为系数的 a, b, c, … 的多项式的元的集。这是 B 中包含 A 和 a, b, c, … 的最小的环。这被称为把 a, b, c, … 添加于 A 中而生成的环，a, b, c, … 称为其（在 A 上的）生成系。当生成系是有限的时候，就称之为 A 上的有限生成代数。注意一个 A 上的代数作为 A-代数的有限生成性和它作为 A 加群的有限生成性是完全不同的概念。

环的扩张的最重要的例子大概是 ℤ 在 ℂ 中的扩张。粗略地说数论就是研究 ℤ 在 ℂ 中的各种扩张环，比如说 \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]、 \mathbb{Z}[\sqrt{5}] 之类的性质。

多项式环

以 X1, X2, …, Xn 为变元的环 A 上的多项式环写为 A [ X1, X2, …, Xn ]。显然我们有 A [ X1, X2, …, Xr ] [ Xr + 1 ] = A [ X1, X2, …, Xr, Xr + 1 ]。环 A 的扩张 A [ a1, a2, …, an ] 可以看成是 A [ X1, X2, …, Xn ] 的某个商环。更一般地说，对任意一个 A-代数 B 和 B 中的任意 n 个元 b1, b2, …, bn，都唯一存在一个从 A [ X1, X2, …, Xn ] 到 B 的 A-代数的同态映射，把各 Xi 映到 bi。一般来说像多项式环中的 X1, X2, …, Xn 这样相互之间没有任何关系的独立变量用大写字母来表示，而像 b1, b2, …, bn 这样相互之间可能有关系的元则用小写字母。

幂级数环

以 A 的元为系数、 X1, X2, …, Xn 为变元的形式上的幂级数所组成的环记为 A [[ X1, X2, …, Xn ]]。和多项式环一样，对幂级数环我们也有 A [[ X1, X2, …, Xr ]] [[ Xr + 1 ]] = A [[ X1, X2, …, Xr, Xr + 1 ]]。

局部化

定义。环 A 的子集 S 称为乘法系，如果 S 满足条件： 1∈S; ∀ a, b ∈S，ab∈S。

以一个乘法系 S 的元为分母，A 的元为分子构成的所有分数组成分数环称为 A 的局部化，写为 AS。具体说来， AS 由形如 a / s ( a∈A, s∈S ) 的元组成，并且把 a / s 和 b / t 看成是一样的，如果存在 S 的元 u 使得 atu = bsu。不难确认这是一个等价关系，并且在 AS 中定义了加法和乘法，如同通常的分数的加法和乘法一样。

自然地有一个从 A 到 AS 的环同态，把 A 的元 a 映到 AS 的元 a / 1。由定义，AS 的元 a / s = 0 当且仅当 ∃u∈S s.t. ua = 0，所以当 S 中包含 0 的时候 AS 是 0环。令一方面当 A 是整环时 A 到 AS 的那个映射是单射。特别地在这时 A 中所有的非0元作成一个乘法系， A 关于这个乘法系的局部化显然是一个体，称为 A 的分数体。这时 A 的任何一个局部化都可以看成是这分数体的一个子环。

局部化的第一个例子当然是 ℤ 的分数体 ℚ。对于环 A 的任意元 f，集合 { 1, f, f2, f3, … } 显然是 A 的一个乘法系，关于这个乘法系的局部化通常写为 Af。

至于这个名字“局部化”的由来，大概必须得知道一点代数几何才能理解。

半群环

设 S 是一个可换的幺半群。则半群环 A [ S ] 定义为在以 S 中的元为基生成的 A 上的自由加群中根据 S 的半群结构定义乘法而构成的环。具体说来就是， A [ S ] 的元唯一表示成 ∑ aisi ( ai∈A, si∈S ) 的形式，并且这求和中只有有限个 ai 不为 0（这条件有时被称为实质上的有限和）。 A [ S ] 中的乘法定义为， ( aisi ) ∙ ( ajsj ) := ( aiaj )( sisj )，其中 aiaj 环 A 中的乘法， sisj 是半群 S 中的乘法。然后对于 ( ∑ aisi ) ∙ ( ∑ bjsj ) 只要应用乘法分配律即可。

比如说自然数关于加法作成的半群 ℕ 所生成的半群环 A [ ℕ ] 正是多项式环 A [ X ]。更一般的， A [ ℕn ] = A [ X1, …, Xn ]。

半群环的最重要的例子大概是 ℤd 中由有限个元 a1, a2, …, an 所生成的半群 S 作成的半群环 A [ S ]。其中 a1, a2, …, an 都配置在 ℤd 的某个不通过原点的超平面上。这样一个环被称为 toric ring，在组合代数、代数几何和弦论中都是重要的研究对象。

直积

环 A 和 B 的直积 A × B 理解为，对集合 A × B 的两个元 ( a1, b1 ) 和 ( a2, b2 )，规定它们的和与积分别为 ( a1 + a2, b1 + b2 )、 ( a1a2, b1b2 )。更一般地，一大堆环 Aλ ( λ∈Λ ) 的直积定义为在集合 ∏ Aλ 中以各个坐标分别相加、相乘作为加法、乘法而构成的环。

张量积

设有 A-代数 B 和 C。则 B 和 C 作为 A-加群的张量积 B ⊗A C 也是一个环。特别地， A [ X ] ⊗A A [ Y ] = A [ X, Y ]。

归纳极限和射影极限

环的归纳系和射影系的极限都仍旧是环。张量积、归纳极限和射影极限的详细，放在下下章《同调代数》中。