一，二，三，很多……

理想几乎可以说是可换环论中最重要的概念。传统的可换环论就是理想论。这发端是Dedekind为了把整数可以唯一分解为素数的乘积这一性质推广到更一般的整数环（即 ℤ 的扩张环）上，而发现了现在被称为Dedekind环上的素理想分解的性质。比如说，中 6 可以分解为 2 ∙ 3 或者 ，这分解就不是唯一的；但是 6 生成的理想 ( 6 ) 分解为四个素理想 , , , 的积。而且我们有 , 和 , 分别对应于 6 的两种分解。也就是说， 2、 3、 、 做为元来说虽然不能继续分解了，但它们各自所生成的理想是可以继续分解的。并且这素理想的分解是唯一的。这美好的性质让Dedekind把像 这样的东西称为“理想数”，这也就是“理想”这个名词的由来。把注意力从环中的各个元转移到环中的各个理想让我们对环的理解有了质的飞跃。当然现在我们对于可换环论有从同调代数和代数几何等方向切入的多种视角，在数论中也有类体论，环中的理想论则变成了基础中的基础。

理想有时候用大写字母 I, J 来表示，但更多时候（为了强调我们把注意力从元转移到了理想）用小写的花体字母（其实应该是德语字母，但是我找不到那样的字体，只好凑和了）a, b, c, … 来表示。由元 a, b, …, c 所生成的理想（即把环本身看成是那个环上的加群而由 a, b, …, c 所生成的子群）通常写为 ( a, b, …, c )。对于理想 I、J， I + J 理解为所有形如 a + b ( a∈I, b∈J ) 的元所组成的集， I ∙ J 理解为所有形如 ∑ a_ib_i ( a_i∈I, b_i∈J, 实质上的有限和 ) 的元所组成的集。易知 I + J, I ∙ J, I ∩ J 都是理想，并且显然有 ( a ) + ( b ) = ( a, b )， ( a ) ∙ ( b ) = ( ab )，I ∙ J ⊆ I ∩ J。对于环中的元 a、 b，说 a 整除 b，即存在一个元 c 使得 ac = b，等于是说 ( a ) ⊇ ( b )。

关于理想是如何左右环的性质，我想从下面这个命题中已经可以看出一些来：

命题。环 R 是一个体，当且仅当 R 中的理想只有 ( 0 ) 和 R 本身。

证明。首先如果 R 是体，则 R 的任意非0元都是可逆的，于是 R 的理想只要含有非0元，就一定含有 1。反之，如果 R 中的理想只有 (0) 和 R 本身，也就是说任意一个非0元 a 所生成的理想 ( a ) = R，即 ( a ) 中含有 1，所以存在 b 使得 ab = 1。（证毕）

推论。设有从 K 到 R 的环同态，并且 K 是体。则 K 的像如果不是 0，这环同态就是单射。这是因为环同态的核是 K 的理想，于是由上面的命题立得。

理想中尤其重要的是素理想。环 R 的素理想定义为满足下面条件的理想 p：
1) 1∉p
2) 如果 a∉p, b∉p, 则 ab∉p。这个条件的逆否也经常用到，即如果 ab∈p，则 a 或者 b 中肯定有一个已经是 p 的元。
这两个条件也可以合起来写成，R ∖ p 是一个乘法系。

命题。 p 是 R 的素理想 ⇔ R / p ≠ 0 是整环。

证明。 素理想的第二个条件等于说是，如果 a ≠ 0 ( mod p ), b ≠ 0 ( mod p )，则 ab ≠ 0 ( mod p )。这正是商环 R / p 是整环的条件。（证毕）

推论。对于 P ⊇ I， P 是 R 的素理想 ⇔ P / I 是 R / I 的素理想。这是因为根据第三同构定理我们有 R / P ≅ ( R / I ) / ( P / I )。

推论。设有环同态 f: A → B，则如果 P 是 B 的素理想， f^-1 ( B ) 就是 A 的素理想。这是因为令 f^-1 ( B ) = p，则 f 诱导出 从 A / p 到 B / P 的单射，而整环的子环显然是整环。（如果你不喜欢这个证明，直接从定义来证也是容易的）

素理想的一个特例是极大理想，即 R 中不等于 R 的、关于包含关系极大的理想 m。由商环的理想对应，m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 的理想只有 ( 0 ) 和 R / m 本身。于是我们得到， m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 是体。体当然是整域，所以极大理想是素理想。

更一般地我们有下面的命题：
命题。设 S 是环 R 中不含 0 的乘法系。则 R 中与 S 不交的、关于包含关系极大的理想 p 一定存在，并且 p 是素理想。（特别的，如果 S = { 1 }，那这与 S 不交的关于包含关系极大的理想就是极大理想）

证明。 R 中所有与 S 不交的理想关于包含关系做成一个归纳的偏序集合，这集合中有 ( 0 ) 所以非空，于是根据Zorn引理，极大元是存在的。设 p 是这样的极大元，并设 a∉p, b∉p，则根据极大元的定义 ( a ) + p ∩ S ≠ ∅, ( b ) + p ∩ S ≠ ∅，于是存在 r, s ∈R， p, q ∈p 使得 ra + p ∈S, sb + q ∈S。现在 S 是乘法系，所以 ( ra + p )( sb + q ) ∈S，而 ( ra + p )( sb + q ) = rsab + ( sbp + raq + pq )，等式右边括号里是 p 的元，所以如果 ab∈p 的话等式右边就是 p 的元了，这和 p ∩ S = ∅ 矛盾。因此 ab∉p。（证毕）

如果你不喜欢这个证明，还有一种证法是这样：考虑局部化 f: R → R_S，取 R_S 中的极大理想 I 这当然是 R_S 中的素理想，于是 f^-1 ( I ) 是 R 中的素理想，易知这素理想与 S 不交。接下来我们会看到事实上 R 中与 S 不交的素理想是与 R_S 中的素理想一一对应的，这就是下面被称为“局部化的理想对应”的命题：

命题。设 S 是 R 的乘法系， f: R → R_S 是 R 的局部化。这时把 R_S 的理想 J 映到 R 的理想 I := f^-1 ( J )（一般来说，假设有环同态 f: A → B，则 B 的任意一个理想 J 的原像 f^-1 ( J ) 也是 A 的理想；但反之对于 A 的理想 I， f ( I ) 却不一定是 B 的理想）给出了一个映 R_S 的理想到 R 的理想的单射。这时 J 正好是 f ( I ) 在 R_S 中所生成的理想。存在于这单射的像中的 R 的理想 I 由下列特征来刻画：如果存在 s∈S 使得 sa∈I，则 a∈I。特别的，R_S 中的素理想和 R 中与 S 不交的素理想一一对应。

证明。设 R_S 中有两个不同的理想 J, L。不妨设 L ∖ J ≠ ∅。这时从 L 中取出一个不属于 J 的元 r / s ( r∈R, s∈S )，则 f ( r ) = r / 1 不可能属于 J，但 r 却是 f^-1 ( L ) 中的元。于是 f^-1 ( L ) ≠ f^-1 ( J )。所以这理想对应是单射。如果 I = f^-1 ( J )，由于 f ( I ) 生成的理想是其原像包含 I 的 R_S 中最小的理想，所以由理想对应的单射性 J 就是由 f ( I ) 生成的。因此能被对应到的 R 中的理想就是满足条件 f^-1 ( f ( I ) ) = I 的理想 I，把这具体写出来就是命题中的条件。根据这个条件，由素理想的定义立知 R 中与 S 不交的素理想都是能够被 R_S 中的某个理想对应到的。现在设 p 是 R 中与 S 不交的素理想，则 f ( p ) 生成的 R_S 中的理想 P 也是素的，因为这时 r / s ∈P ⇔ r∈p，所以如果 r / s ∉P, t / u ∉P 则 rt∉p 于是 rt / su ∉P。（证毕）

在代数几何中，把可换环看成是一个几何的对象，这几何对象的点就是这环的素理想。因此局部化相当于说是取出其中一部分的点来考察，这也是“局部化”这名称的由来。

假设有环同态 f: A → B 和 B 中的理想 J，如果这 f 是自明的或规定好的，这时出于简便起见我们通常把 f^-1 ( J ) 写为 J ∩ A。对于 A 中的理想 I 则把 f ( I ) 生成的 B 中的理想写为 IB。

命题。取商的操作和局部化的操作是可换的。也就是说，设有环 A，A 中的乘法系 S，以及 A 的理想 I。把 S 在 A / I 中的像记为 S’。则 ( A / I )_S’ 与 A_S / IA_S 自然地同构。

证明。定义从 A_S 到 ( A / I )_S’ 的同态映射把 a / s 映到 [ a ] / [ s ]。这显然是全射，下面来计算它的核： [ a ] / [ s ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. [ a ][ t ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. at∈I ⇔ a / s ∈ IA_S。所以这核是 IA_S。（证毕）

不同的乘法系的局部化是可能相同的。对于一个乘法系 S，把 S 中的元的所有约数（即整除 S 中某个元的数）都收集起来，就作成了一个比 S 大的乘法系 T，但是用 T 来局部化和用 S 来局部化是一样的，因为如果 ut = s，我们就可以把 r / t 看成是 ur / s。这个 T 被称为 S 的饱和化。

命题。 R ∖ T 是所有与 S 不交的素理想的合并。T = { r∈R | r / 1 是 R_S 的可逆元 }。

证明。首先与 S 不交的理想也一定与 T 不交，然后对于 R ∖ T 的任意一元 a， ( a ) 与 T 不交，所以存在包含 ( a ) 而又与 T 不交的极大的理想，这当然是素理想。这就证明了命题的前半部分，后半部分由前半部分和局部化的理想对应立得。（证毕）

设有环 R 和 R 的素理想 p。 R ∖ p 当然是乘法系，关于这个乘法系的局部化记为 R_p。这其实是个很糟糕的记号（R_p 和 R_{R ∖ p} 是一个东西！），但是出于惯例，而且一般也不大会引起误解。（在Bourbaki里乘法系 S 的局部化就改用了 S^-1R 来表示，但也许是这样子记法不够酷吧，现在大家似乎都不用）

由局部化的理想对应，环 R_p 中只有一个极大理想 pR_p。一般地把只有一个极大理想的环称为局部环。显然局部环中不属于那个极大理想的元都是可逆的。局部环的例子，除了局部化以外还有幂级数环：

命题。局部环 A 上的幂级数环 A [[ X ]] 也是局部环。

证明。设 A 的极大理想为 m。则 A [[ X ]] 中所有形如 m + a₁X + a₂X² + a₃X³ + … ( m∈m, a_i∈A ) 的元做成 A [[ X ]] 的一个理想 I，我们证明这是唯一的极大理想。为此只要说明 A [[ X ]] ∖ I 的元都是可逆的就好了。这由通常的幂级数的除法立刻就可以看出：用 u + a₁X + a₂X² + … ( u 是 A 的可逆元 ) 去除 1，得到 u^-1 - u^-2a₁X + u^-2 ( u^-1a₁² - a₂ ) X² + … 。（证毕）

下面是一个表现出素理想的“素”性的命题，被称为“lemma of prime avoidance”。
命题。设 p₁, p₂, …, p_r 和 P 都是素理想，则
1) p₁p₂…p_r ⊆ P ⇒ ∃i s.t. p_i ⊆ P
2) P ⊆ p₁ ∪ p₂ ∪ … ∪ p_r ⇒ ∃i s.t. P ⊆ p_i

证明。 1) 如果 ∀i p_i ⊈ P，则我们可以从每个 p_i 中取出一个不属于 P 的元 a_i。于是 a₁a₂…a_r 不属于 P （因为 P 是素理想）但却是 p₁p₂…p_r 的元，矛盾。 2) 我们只要证明总是存在一个 i 使得 P ⊆ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，然后对 r 应用归纳法即可。如果 ∀i P ⊈ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，则对每个 i，可以从 P 中取出一个元 a_i 不属于 p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，这时当然 a_i∈p_i。考虑元 a₂…a_r + a₁a₃…a_r + … + a₁a₂…a_{i - 1}a_{i + 1}…a_r + … + a₁…a_{r - 1}，这个和中除第 i 项不是 p_i 的元（因为 p_i 是素理想）之外其余都是 p_i 的元，因此这个和不属于任何一个 p_i，但它显然是 P 的元，矛盾。（证毕）

从证明中可以看出这个命题的 1) 中没有用到各 p_i 的素性， 2) 中则没有用到 P 的素性，因此它们各自都是可以加强的。但为了美观起见，而且在通常的应用中这样的陈述已经足够了。

由 1) 立即得到，如果 p₁ ∩ … ∩ p_r ⊆ P，则 P 包含某个 p_i。这是因为 p₁…p_r ⊆ p₁ ∩ … ∩ p_r 的缘故。

p 是 R 的素理想当且仅当 R / p 是整环。而整环的意思是除了 0 以外没有 0因子。所以从直观上说我们只要把 0因子模掉就应该可以得到一个整环。这就是下面的命题。

命题。（关于包含关系的）极小素理想的元都是 0因子。

证明。环 R 中的所有非 0因子作成一个乘法系。把这乘法系记为 S。而对于 R 中任意一个素理想 P， R ∖ P 也作成一个乘法系，记为 T。由这两个乘法系所生成的乘法系 ST 不含 0，因为 T 不含 0 而 S 中又都是非 0因子。因此存在与 ST 不交的关于包含关系极大的理想 p，这 p 显然是包含于 P，其元都是 0因子的素理想。（证毕）

定义。设 R 是环， I 是 R 中的理想。I 的根定义为集合 { a∈R | ∃n∈ℕ s.t. aⁿ∈I }，即其幂属于 I 的所有元组成的集合，写为 rad ( I )。容易看出 rad ( I ) 是一个理想。满足 rad ( I ) = I 的理想 I 称为根理想。

根的下面三条性质是容易的：
1) rad ( I ) ∩ rad ( J ) = rad ( I ∩ J ) = rad ( I ∙ J )
2) 设 I ⊆ J，则 rad ( I ) ⊆ rad ( J )
3) 设 I ⊆ J，则 rad ( J ) / I = rad ( J / I )

素理想显然是根理想。 ( 0 ) 的根是由 R 中所有幂零元所组成的，这特别写为 nil R。

命题。 rad ( I ) = ∩ p ( p 跑过所有包含 I 的素理想 )。特别地， R 中所有素理想的交正是 nil R。

证明。如果 I 不是 ( 0 )，我们只要考虑 R / I 就将其化为 I = ( 0 ) 的情形。现在显然 ( 0 ) ⊆ ∩ p，在两边取根就得到 nil R ⊆ ∩ rad ( p ) = ∩ p。反方向的包含关系，对于不属于 nil R 的任意元 a，乘法系 { 1, a, a², a³, … } 都不包含 0，所以存在和这乘法系不交的素理想。（证毕）

对一般的环来说只能将根理想像这样表示成素理想的交，像Dedekind环中“任意一个理想唯一表示成有限个素理想的积”这样的美好性质通常是不成立的。关于Dedekind环的详细内容放在下下节。