Archive for 七月, 2007
星期六, 七月 14th, 2007
一点点群论（二）
作用
设有集合 G 作用于集合 A 上。如果 G 是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群 G 作用于 A 上。如果 G 是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。对于 G 的两个元 σ、 τ，先把 σ 作用于 A 再把 τ 作用于 A，这个合成是由 στ 来对应还是由 τσ 来对应呢？我们把前者称为 G 从右边作用于 A，后者则称为 G 从左边作用于 A。左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于 A 的元 a，把先作用 σ 再作用 τ 写成 τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是 τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是 στ 了。
如果把群 […]
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星期五, 七月 13th, 2007
一点点群论（一）
群
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元 a、 b 关于这乘法进行演算的结果，通常写为 a ∙ b 或者就简略记为 ab。乘法被要求满足下面三个条件：
结合律。 a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
存在单位元 e，对任意元 a 都有 e ∙ a = a ∙ e = a
对任意元 a，都存在 a 的逆元 a-1，满足 a ∙ a-1 = a-1 ∙ a = e
如果这乘法还满足交换律 a ∙ b = b ∙ […]
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星期三, 七月 4th, 2007
再说一点集合论
选择公理
出于对民主的一贯敬意，我愿意把选择公理理解成“人民要有选择的权利”。这不是你（政府，或者上帝）面对无数个非空的抽象集合时一次从每个集合里都选出一个元；这种强力干涉的独裁手腕是不可能的。我愿意把选择公理理解成，这是那无数个非空的抽象集合们每一个都自发地从自己的元中选举一个出来。当然这跟数学完全没有关系。选择公理的陈述是：
如果 ∀λ∈Λ, Aλ ≠ ∅，则 ∏ Aλ ( λ∈Λ ) ≠ ∅。
这意思是说，如果每个 Aλ 都非空，那么我们给集合 Λ 中的每一个元 λ 对应集合 Aλ 中的一个元，这样的对应是存在的。或者更直白一些，在每个 Aλ 中都选取一个元是可能的。如果一个集合非空，从里面选取一个元当然是可能的。但选择公理保证的是，即使有无限多个集合，甚至是不可数的无限多个，只要每个集合都非空，那我们就可以在一次神秘的操作之后从每个集合里都得到一个元。这中间当然存在逻辑的飞跃。注意在这里我们只知道 Aλ 是集合。如果我们还知道别的一些信息，有时不用选择公理也可以从每个 Aλ 里选出一个元来。比如说假如有无限多双鞋子，我们可以说“从每双鞋中取出左脚穿的那只”，这就没有用到选择公理。但是如果是无限多双袜子，由于袜子是不分左右的，要从每双里取一只出来就难了！
选择公理是非常强有力的公理。首先来看一个简单的应用：
定理。对于非空集合 A、 B，以下两个命题是等价的：
1) 存在从 A 到 B 的单射
2) 存在从 B 到 A 的全射
证明。 1) ⇒ 2) 并不需要借助选择公理。如果存在从 A 到 B 的单射 f，我们当然可以在 f ( A ) 上定义 f 的逆映射。而对于 […]
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星期二, 七月 3rd, 2007
说一点集合论
集合可以说是最简单的结构。或者说简直简单得没有结构。对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。
当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。OK，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。讲这话并不是找打。我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：
定义。如果两个集合 A 和 B 是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。写做 A ~ B。这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。对于任意一个集合 A，它的浓度当然定义为与 A 同等的所有集合做成的等价类。
从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。这句话中已经暗示了一个重要的定理。
首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：
定义。如果存在一个从集合 A 到集合 B 的单射 f: A → B（这时 A 和 f ( A ) 同等），我们就说 A 比 B 小。写做 A ≤ B。
而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。
定理。≤ 是一个偏序关系。
证明。显然对任意集合 A 都有 A ≤ A。而如果 A ≤ B， B ≤ C，只要考虑映射的合成我们就有 A ≤ C。这个定理最主要的部分在于，如果 A ≤ B 且 B […]
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星期一, 七月 2nd, 2007
数学是什么
直观和逻辑
直观是绝对必要的。在考虑用人工智能进行数学推理的时候大家往往只注重逻辑，我想这是电脑还没学会数学的主要原因。我并不认为直观是人独有的能力。电脑也可以有直观，只要你好好编程。（不过这好象和数学没有什么关系。）
人的缺点是，往往会轻易相信自己的直观。当严密的逻辑推理导出了比如说关于无穷大的种种所谓“不可思议”的性质时，人们往往会怀疑逻辑出了问题——逻辑，这个行事绝不光明正大的诡辩家，不知道在什么地方偷偷做了什么手脚，然后就把人给骗了。比如说就在那个反证法里。——但这往往是不对的。如果你无法接受一个由严密的逻辑推理得到的结论，通常是因为你的直观出了毛病。比如说初学者往往把无穷大想象成“一个很大很大的数”，这在很多时候有效，但也会出很多毛病。而如果想象成“一个越来越大的数”，情况就会好的多。请发挥你的想象力。
数学的特征
说到数学，我总是喜欢举两个问题作为例子。
第一个问题是，一杯水和一杯酒，体积相同。舀一勺水到酒里，搅拌一下，再舀一勺（掺了水的）酒到水里。现在问是酒里的水多还是水里的酒多？
答案是一样多。不管一勺有多大，也不管有没有搅匀。这是因为这两杯东西在开始和最后的体积都是相同的，所以说有多少水跑到了酒里，就有多少酒跑到了水里去填补失去的水留下的空位。
第二个问题是，甲和乙分别从A和B出发相向而行。第一次相遇时甲走了40米，然后两人继续各自前进，走到对方的出发点后再折回，第二次相遇时甲离开B点20米。假定甲乙行走的速率不变，不考虑转身的时间。问两次相遇的地方相距多远？
答案是40米。这是因为从第一次相遇后到第二次相遇，甲和乙分别走的路程，是他们从开始到第一次相遇时所各自走的路程的两倍（从开始到第一次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了一次；而从第一次相遇到第二次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了两次）。所以特别地，从第一次相遇后到第二次相遇时甲又走了80米。而这时他离B点20米，所以显然第二次相遇点在第一次相遇点的靠近B点方向的40米处。
这两个问题的共同点是似乎都缺失了一些条件。在第一个问题中，我们不知道两杯液体的体积是多少，也不知道勺子的容积是多少，更不知道是否搅匀。我想这些都是我们在想象这个转移液体的过程时觉得需要知道的条件。同样，在第二个问题中我们不知道AB间的距离也不知道甲和乙的速率。在想象这个相遇过程时，我想这些应该是我们觉得首先要知道的东西吧。当然，你可以把你觉得应该知道的东西设成x、y之类，然后用我们强有力的代数手法去精密地分析各个量之间的关系，然后得出答案。但是得出答案并不等于真正的理解。接下来你要做的是在那一堆代数等式的迷团中，抓出之所以会有这个答案的本质上的原因，也就是上两段中我所叙述的。当然更好的情况是一下子就想到上两段那样的解答，根本不借助代数。总之，数学需要考虑的不是一个对象的一个过程，而是一类对象的一类过程，要在一堆虽然很不相同但到底有些类似的东西中抓到本质。这是数学得以区别于算术的所在。在前一篇文章讲等价关系的时候也提到过，数学中讨论的对象往往是抽象的等价类。我们作直观想象的时候只能把具体的对象浮现于脑际，这时你要么把等价的那些具体的对象同时浮想出来，要么时刻牢记，这个就是那个，白马和黑马都是马。当然，关于具体的东西的精密的分析手段也是绝对必要的，在复杂的问题上，几乎没有人能够一下子就抓住问题的本质。几乎所有重要的概念都是从关于一个个具体的例子的具体的知识储备中升华出来的，而有了这些概念以后那一个个的具体的例子往往都变成显然的了。就像上面的这两个问题，明白了以后会觉得这是多么浅显道理啊！这也是为什么每一代新生的数学家都能在短时间内掌握前辈们在几百年一千年的时间里储备下来的数学知识，而且在此基础上又有新的创造的原因。
数学的方法
在我看来，数学最根本的方法莫过于类比。用我们容易想象的、充分理解的东西去类比不那么容易理解的东西。这个过程分为几个方面。
首先对于我们很了解的东西，我们需要做的是抽出“这东西之所以成为这样的根本原因”，这就是公理化。把那许许多多性质之所以成立的根本原因归结于几条公理，然后在其他我们不甚了解的对象身上发现满足这几条公理的“结构”。举一个例子。我们很熟悉有理数。我们知道有理系数的多项式可以唯一地因式分解。然后我们抽出这其中的原因是因为有理数是一个“域”。后来我们发现，对于素数p，整数除以p的同余等价类也作成了一个域。而在这个域上，显然 1, 2, 3, … , p - 1（的等价类）都满足方程 xp -1 - 1 = 0。于是按照有理系数的多项式的类比，我们得出在这个域上有
xp - 1 - 1= ( x - 1 ) ( x - 2 ) … ( x - p + 1 )
比较左右两边的常数项，我们得出结论， ( p - 1 ) ! （ p - 1 的阶乘）与 -1 是除以 p 同余等价的。或者换种说法，当 p 是素数的时候， […]