Archive for 七月, 2007
星期一, 七月 2nd, 2007
关系
用集合论的语言，一个关于集合 A1, A2, … , An 中的元的 n 项关系，定义为集合 A1 × A2 × … × An 的子集 R。对于 a1∈A1, a2∈A2, … , an∈An，如果 ( a1, a2, … , an ) ∈R，我们就说 a1, a2, … , an满足关系 R。
但是这定义其实也是怎么都好。一个关系，就是数学语言中的一个谓语，我们用它来构成一个句子或者说命题的主干部分。最为常见的关系，大概是要数表示相等的“等于”和表示大小的“大于”、“小于”了吧。几乎每一个数学系的学生都会首先学到这两种关系，或者更精确的说，这两种关系中的逻辑结构。
等价关系
如果一个二项关系~满足以下条件，我们就称其为等价关系：
x ~ x。
如果 x ~ y，则 y ~ x。
如果 x ~ y， y ~ z，则 x ~ z。
相等当然是等价关系。对于任意一个对象 x，所有和 […]
No Comments » - Posted in A.前言和一点集合论 by path2math
星期一, 七月 2nd, 2007
映射
在公理化集合论的叙述中，集合 A 到集合 B 的映射被定义为集合 A × B 中满足下列条件的子集 F：
“对于 A 中每一个元 a，都唯一存在一个 B 中的元 b，使得 ( a, b ) 是 F 中的元。”
但是这种技术上的定义怎么都好。所谓 A 到 B 的映射就是说对于 A 中每一个元 a，都指定了 B 中的一个元 b 和 a 对应。如果我们把映射记为 f: A → B，那么这个对应通常写成 f ( a ) = b 或者 af = b（我们有时会想要把 f 写在 a 的右边，那么就是这样写）。这时我们说 b […]
No Comments » - Posted in A.前言和一点集合论 by path2math
星期一, 七月 2nd, 2007
集合
集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。比如说一个自然数 3 ，或者一个字母 x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。于是就有了空集合（空集公理）。我们把空集合定义为 0。把集合 { 0 } 定义为 1。把 { 0, 1 } 定义为 2。把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。依此类推。上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。）
不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。我不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。
集合的定义方法。
{ a, b, c } 列举。a、b、c 组成的集合。
{ x∈A | 命题 } 集合 A 中满足命题的所有元组成的子集。注意这里有 x∈A（ x 属于 A ）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。
℘ ( A ) 幂集合。集合 A 的所有子集组成的集合。
A […]
2 Comments » - Posted in A.前言和一点集合论 by path2math
星期一, 七月 2nd, 2007
前言
从前往后写，从后往前看。
这基本上是我的学习笔记。我的打算是从头开始慢慢写，（就像Bourbaki注的前言所说）不假定任何预备知识，只需要稍有一些逻辑推理能力就可以看懂的东西。和Bourbaki不同的是，我想我会尽我所能的使用感性的语言。真的我时常会觉得有些失落。数学实在是太不普及了。虽然这是一门从小学起就开始教的课程。每当我张口想说群、环、体的时候都会记起，这居然是只有数学专业才教的词汇。（为什么不把它写进初中教科书呢！？）我不知道有多少人因为迷失在这些陌生的单词里而对数学退避三舍。很多介绍数学知识的文章都尽量避免使用专业词汇，这当然是一种普及的方式。但我想我既然开始了这样一个blog，那就有充分的空间来做准备，让那些抽象名词变得容易亲近起来。也许和许多人的理解相反，我们之所以使用那些奇异的词汇和陌生的语法，是因为这样才比较容易理解。数学家和律师是不同的。数学的目的是建立一种描述这个世界的精确、理性而且容易理解的语言，把人类创造性的灵感最为显著的表达出来。如果你是诗人、小说家或者恋爱中的少年，一定会切身的体会到，我们平常使用的语言是多么的贫乏、无力、暧昧甚至滑稽可笑。真的，不仅在感性方面是如此，理性方面也是一样。或者说更甚。但是和广大的令人尊敬的艺术家们所面临的状况不同，我们在理性的表达方面已经拥有了近乎完美的解决方案，那就是数学的语言。从这方面来说，考虑到文学、音乐、美术等等作为一个人的教养的重要性，数学的普及程度和它所取得的成就相比，实在是大大的落后了。
我写这个的目的是想从头开始回忆整理一遍我所学到的，然后把那些首先从记忆里跳出来的东西写出来。我想正是这里面包含了（我所理解的）数学的精髓。还有一个目的也许是更重要的，那就是我把它们写出来，然后会切身体会到我所知道的是多么的少。
从博客的性质上来讲，如果我从头开始写然后按顺序贴上来，那么首先看到的必然是最后一页。我想我会尽可能地让人即使从最后一页开始读，也能迅速地明白我到底在说什么。但愿如此。
注：Bourbaki据说是普法战争中一个法国将军的名字。做为名词它指当年一群法国数学家的秘密结社，或者他们所编的厚厚一叠味同嚼蜡的教科书。有时它作为形容词来形容高度抽象、没有人情味、精确但冗长难懂的书写数学记号的方式。