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星期天, 七月 15th, 2007
一点点群论（三）
有限群
有限群是可以数出个数来的。这“个数”的存在虽然看起来不起眼但其实是非常强力的条件。最明显的，设群 G 中有一个 m 阶的子群 N（即 N 含有 m 个元。一般地把有限群所含有的元的个数称为这个群的阶），则 N 的任意一个左（右）旁系显然都正好有 m 个元。这样我们就立即有下面的定理：
定理。如果 n 阶群 G 有一个 m 阶子群 H，则 m 是 n 的约数，而 n / m 是 H 的左（右）旁系的个数。
由这定理又立即作出下面的推论：
推论1。对 n 阶群 G 的任意元 a 都有 an = 1。
推论2。素数阶群 G 是循环的、单纯的。
证明只要考虑到 G 中任何一元的阶（元 a 的阶定义为由 a 所生成的子群的阶，易知这是满足条件 ad = 1 的最小的自然数 d）都是 | G […]
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星期六, 七月 14th, 2007
一点点群论（二）
作用
设有集合 G 作用于集合 A 上。如果 G 是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群 G 作用于 A 上。如果 G 是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。对于 G 的两个元 σ、 τ，先把 σ 作用于 A 再把 τ 作用于 A，这个合成是由 στ 来对应还是由 τσ 来对应呢？我们把前者称为 G 从右边作用于 A，后者则称为 G 从左边作用于 A。左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于 A 的元 a，把先作用 σ 再作用 τ 写成 τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是 τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是 στ 了。
如果把群 […]
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星期五, 七月 13th, 2007
一点点群论（一）
群
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元 a、 b 关于这乘法进行演算的结果，通常写为 a ∙ b 或者就简略记为 ab。乘法被要求满足下面三个条件：
结合律。 a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
存在单位元 e，对任意元 a 都有 e ∙ a = a ∙ e = a
对任意元 a，都存在 a 的逆元 a-1，满足 a ∙ a-1 = a-1 ∙ a = e
如果这乘法还满足交换律 a ∙ b = b ∙ […]
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星期三, 七月 4th, 2007
再说一点集合论
选择公理
出于对民主的一贯敬意，我愿意把选择公理理解成“人民要有选择的权利”。这不是你（政府，或者上帝）面对无数个非空的抽象集合时一次从每个集合里都选出一个元；这种强力干涉的独裁手腕是不可能的。我愿意把选择公理理解成，这是那无数个非空的抽象集合们每一个都自发地从自己的元中选举一个出来。当然这跟数学完全没有关系。选择公理的陈述是：
如果 ∀λ∈Λ, Aλ ≠ ∅，则 ∏ Aλ ( λ∈Λ ) ≠ ∅。
这意思是说，如果每个 Aλ 都非空，那么我们给集合 Λ 中的每一个元 λ 对应集合 Aλ 中的一个元，这样的对应是存在的。或者更直白一些，在每个 Aλ 中都选取一个元是可能的。如果一个集合非空，从里面选取一个元当然是可能的。但选择公理保证的是，即使有无限多个集合，甚至是不可数的无限多个，只要每个集合都非空，那我们就可以在一次神秘的操作之后从每个集合里都得到一个元。这中间当然存在逻辑的飞跃。注意在这里我们只知道 Aλ 是集合。如果我们还知道别的一些信息，有时不用选择公理也可以从每个 Aλ 里选出一个元来。比如说假如有无限多双鞋子，我们可以说“从每双鞋中取出左脚穿的那只”，这就没有用到选择公理。但是如果是无限多双袜子，由于袜子是不分左右的，要从每双里取一只出来就难了！
选择公理是非常强有力的公理。首先来看一个简单的应用：
定理。对于非空集合 A、 B，以下两个命题是等价的：
1) 存在从 A 到 B 的单射
2) 存在从 B 到 A 的全射
证明。 1) ⇒ 2) 并不需要借助选择公理。如果存在从 A 到 B 的单射 f，我们当然可以在 f ( A ) 上定义 f 的逆映射。而对于 […]
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星期二, 七月 3rd, 2007
说一点集合论
集合可以说是最简单的结构。或者说简直简单得没有结构。对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。
当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。OK，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。讲这话并不是找打。我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：
定义。如果两个集合 A 和 B 是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。写做 A ~ B。这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。对于任意一个集合 A，它的浓度当然定义为与 A 同等的所有集合做成的等价类。
从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。这句话中已经暗示了一个重要的定理。
首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：
定义。如果存在一个从集合 A 到集合 B 的单射 f: A → B（这时 A 和 f ( A ) 同等），我们就说 A 比 B 小。写做 A ≤ B。
而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。
定理。≤ 是一个偏序关系。
证明。显然对任意集合 A 都有 A ≤ A。而如果 A ≤ B， B ≤ C，只要考虑映射的合成我们就有 A ≤ C。这个定理最主要的部分在于，如果 A ≤ B 且 B […]