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星期一, 七月 2nd, 2007
数学是什么
直观和逻辑
直观是绝对必要的。在考虑用人工智能进行数学推理的时候大家往往只注重逻辑，我想这是电脑还没学会数学的主要原因。我并不认为直观是人独有的能力。电脑也可以有直观，只要你好好编程。（不过这好象和数学没有什么关系。）
人的缺点是，往往会轻易相信自己的直观。当严密的逻辑推理导出了比如说关于无穷大的种种所谓“不可思议”的性质时，人们往往会怀疑逻辑出了问题——逻辑，这个行事绝不光明正大的诡辩家，不知道在什么地方偷偷做了什么手脚，然后就把人给骗了。比如说就在那个反证法里。——但这往往是不对的。如果你无法接受一个由严密的逻辑推理得到的结论，通常是因为你的直观出了毛病。比如说初学者往往把无穷大想象成“一个很大很大的数”，这在很多时候有效，但也会出很多毛病。而如果想象成“一个越来越大的数”，情况就会好的多。请发挥你的想象力。
数学的特征
说到数学，我总是喜欢举两个问题作为例子。
第一个问题是，一杯水和一杯酒，体积相同。舀一勺水到酒里，搅拌一下，再舀一勺（掺了水的）酒到水里。现在问是酒里的水多还是水里的酒多？
答案是一样多。不管一勺有多大，也不管有没有搅匀。这是因为这两杯东西在开始和最后的体积都是相同的，所以说有多少水跑到了酒里，就有多少酒跑到了水里去填补失去的水留下的空位。
第二个问题是，甲和乙分别从A和B出发相向而行。第一次相遇时甲走了40米，然后两人继续各自前进，走到对方的出发点后再折回，第二次相遇时甲离开B点20米。假定甲乙行走的速率不变，不考虑转身的时间。问两次相遇的地方相距多远？
答案是40米。这是因为从第一次相遇后到第二次相遇，甲和乙分别走的路程，是他们从开始到第一次相遇时所各自走的路程的两倍（从开始到第一次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了一次；而从第一次相遇到第二次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了两次）。所以特别地，从第一次相遇后到第二次相遇时甲又走了80米。而这时他离B点20米，所以显然第二次相遇点在第一次相遇点的靠近B点方向的40米处。
这两个问题的共同点是似乎都缺失了一些条件。在第一个问题中，我们不知道两杯液体的体积是多少，也不知道勺子的容积是多少，更不知道是否搅匀。我想这些都是我们在想象这个转移液体的过程时觉得需要知道的条件。同样，在第二个问题中我们不知道AB间的距离也不知道甲和乙的速率。在想象这个相遇过程时，我想这些应该是我们觉得首先要知道的东西吧。当然，你可以把你觉得应该知道的东西设成x、y之类，然后用我们强有力的代数手法去精密地分析各个量之间的关系，然后得出答案。但是得出答案并不等于真正的理解。接下来你要做的是在那一堆代数等式的迷团中，抓出之所以会有这个答案的本质上的原因，也就是上两段中我所叙述的。当然更好的情况是一下子就想到上两段那样的解答，根本不借助代数。总之，数学需要考虑的不是一个对象的一个过程，而是一类对象的一类过程，要在一堆虽然很不相同但到底有些类似的东西中抓到本质。这是数学得以区别于算术的所在。在前一篇文章讲等价关系的时候也提到过，数学中讨论的对象往往是抽象的等价类。我们作直观想象的时候只能把具体的对象浮现于脑际，这时你要么把等价的那些具体的对象同时浮想出来，要么时刻牢记，这个就是那个，白马和黑马都是马。当然，关于具体的东西的精密的分析手段也是绝对必要的，在复杂的问题上，几乎没有人能够一下子就抓住问题的本质。几乎所有重要的概念都是从关于一个个具体的例子的具体的知识储备中升华出来的，而有了这些概念以后那一个个的具体的例子往往都变成显然的了。就像上面的这两个问题，明白了以后会觉得这是多么浅显道理啊！这也是为什么每一代新生的数学家都能在短时间内掌握前辈们在几百年一千年的时间里储备下来的数学知识，而且在此基础上又有新的创造的原因。
数学的方法
在我看来，数学最根本的方法莫过于类比。用我们容易想象的、充分理解的东西去类比不那么容易理解的东西。这个过程分为几个方面。
首先对于我们很了解的东西，我们需要做的是抽出“这东西之所以成为这样的根本原因”，这就是公理化。把那许许多多性质之所以成立的根本原因归结于几条公理，然后在其他我们不甚了解的对象身上发现满足这几条公理的“结构”。举一个例子。我们很熟悉有理数。我们知道有理系数的多项式可以唯一地因式分解。然后我们抽出这其中的原因是因为有理数是一个“域”。后来我们发现，对于素数p，整数除以p的同余等价类也作成了一个域。而在这个域上，显然 1, 2, 3, … , p - 1（的等价类）都满足方程 xp -1 - 1 = 0。于是按照有理系数的多项式的类比，我们得出在这个域上有
xp - 1 - 1= ( x - 1 ) ( x - 2 ) … ( x - p + 1 )
比较左右两边的常数项，我们得出结论， ( p - 1 ) ! （ p - 1 的阶乘）与 -1 是除以 p 同余等价的。或者换种说法，当 p 是素数的时候， […]
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星期一, 七月 2nd, 2007
关系
用集合论的语言，一个关于集合 A1, A2, … , An 中的元的 n 项关系，定义为集合 A1 × A2 × … × An 的子集 R。对于 a1∈A1, a2∈A2, … , an∈An，如果 ( a1, a2, … , an ) ∈R，我们就说 a1, a2, … , an满足关系 R。
但是这定义其实也是怎么都好。一个关系，就是数学语言中的一个谓语，我们用它来构成一个句子或者说命题的主干部分。最为常见的关系，大概是要数表示相等的“等于”和表示大小的“大于”、“小于”了吧。几乎每一个数学系的学生都会首先学到这两种关系，或者更精确的说，这两种关系中的逻辑结构。
等价关系
如果一个二项关系~满足以下条件，我们就称其为等价关系：
x ~ x。
如果 x ~ y，则 y ~ x。
如果 x ~ y， y ~ z，则 x ~ z。
相等当然是等价关系。对于任意一个对象 x，所有和 […]
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星期一, 七月 2nd, 2007
映射
在公理化集合论的叙述中，集合 A 到集合 B 的映射被定义为集合 A × B 中满足下列条件的子集 F：
“对于 A 中每一个元 a，都唯一存在一个 B 中的元 b，使得 ( a, b ) 是 F 中的元。”
但是这种技术上的定义怎么都好。所谓 A 到 B 的映射就是说对于 A 中每一个元 a，都指定了 B 中的一个元 b 和 a 对应。如果我们把映射记为 f: A → B，那么这个对应通常写成 f ( a ) = b 或者 af = b（我们有时会想要把 f 写在 a 的右边，那么就是这样写）。这时我们说 b […]
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星期一, 七月 2nd, 2007
集合
集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。比如说一个自然数 3 ，或者一个字母 x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。于是就有了空集合（空集公理）。我们把空集合定义为 0。把集合 { 0 } 定义为 1。把 { 0, 1 } 定义为 2。把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。依此类推。上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。）
不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。我不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。
集合的定义方法。
{ a, b, c } 列举。a、b、c 组成的集合。
{ x∈A | 命题 } 集合 A 中满足命题的所有元组成的子集。注意这里有 x∈A（ x 属于 A ）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。
℘ ( A ) 幂集合。集合 A 的所有子集组成的集合。
A […]
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星期一, 七月 2nd, 2007
前言
从前往后写，从后往前看。
这基本上是我的学习笔记。我的打算是从头开始慢慢写，（就像Bourbaki注的前言所说）不假定任何预备知识，只需要稍有一些逻辑推理能力就可以看懂的东西。和Bourbaki不同的是，我想我会尽我所能的使用感性的语言。真的我时常会觉得有些失落。数学实在是太不普及了。虽然这是一门从小学起就开始教的课程。每当我张口想说群、环、体的时候都会记起，这居然是只有数学专业才教的词汇。（为什么不把它写进初中教科书呢！？）我不知道有多少人因为迷失在这些陌生的单词里而对数学退避三舍。很多介绍数学知识的文章都尽量避免使用专业词汇，这当然是一种普及的方式。但我想我既然开始了这样一个blog，那就有充分的空间来做准备，让那些抽象名词变得容易亲近起来。也许和许多人的理解相反，我们之所以使用那些奇异的词汇和陌生的语法，是因为这样才比较容易理解。数学家和律师是不同的。数学的目的是建立一种描述这个世界的精确、理性而且容易理解的语言，把人类创造性的灵感最为显著的表达出来。如果你是诗人、小说家或者恋爱中的少年，一定会切身的体会到，我们平常使用的语言是多么的贫乏、无力、暧昧甚至滑稽可笑。真的，不仅在感性方面是如此，理性方面也是一样。或者说更甚。但是和广大的令人尊敬的艺术家们所面临的状况不同，我们在理性的表达方面已经拥有了近乎完美的解决方案，那就是数学的语言。从这方面来说，考虑到文学、音乐、美术等等作为一个人的教养的重要性，数学的普及程度和它所取得的成就相比，实在是大大的落后了。
我写这个的目的是想从头开始回忆整理一遍我所学到的，然后把那些首先从记忆里跳出来的东西写出来。我想正是这里面包含了（我所理解的）数学的精髓。还有一个目的也许是更重要的，那就是我把它们写出来，然后会切身体会到我所知道的是多么的少。
从博客的性质上来讲，如果我从头开始写然后按顺序贴上来，那么首先看到的必然是最后一页。我想我会尽可能地让人即使从最后一页开始读，也能迅速地明白我到底在说什么。但愿如此。
注：Bourbaki据说是普法战争中一个法国将军的名字。做为名词它指当年一群法国数学家的秘密结社，或者他们所编的厚厚一叠味同嚼蜡的教科书。有时它作为形容词来形容高度抽象、没有人情味、精确但冗长难懂的书写数学记号的方式。