一，二，三，很多……

我们说 s 是既约元，如果不存在 s 的真的约数。即，如果 s = ab，则 a、b 中肯定有一个是可逆元。

我们说 p 是素元，如果对于任意的 a、b， p 整除 ab ⇒ p 整除 a 或 b。这等价于说 ( p ) 是素理想。

素元一定是既约元，因为如果素元 p = ab， p 当然整除 ab，于是 p 整除 a 或 b，不妨设 p 整除 a。另一方面 a 也整除 p，所以 a 不是 p 的真的约数，b 是可逆元。

反之，既约元却不一定是素元。比如中整除 6 = 2 × 3，但既不整除 2 也不整除 3。一个环如果满足条件“既约元都是素元”，就说它满足“素元条件”。

另一方面，如果一个环满足条件“不存在主理想（即由一个元生成的理想）的无穷严格递增链”，就说它满足“分解条件”。这个条件等于是说，不存在这样的无穷数列 a₁, a₂, a₃, … 其中每个 a_i 都是 a_{i - 1} 的真的约数。如果一个环满足分解条件，则对于环中的任意一元，如果它不是既约元就可以把它分解为两个真的约数的积，这两个真的约数中如果还有非既约元就再继续分解，这样一直下去由分解条件保证了总会到头。也就是说，如果一个环满足分解条件，那么这环中任何一元都可以分解为（有限个）既约元的积。

对于实际应用中的大多数环来说分解条件都是成立的（更进一步，实际应用中大部分的环都是Nöther环），但素元条件通常是不成立的。也就是说，这分解虽然存在，但分解通常不是唯一的。满足唯一分解条件的整环被称为UFD（Unique Factorization Domain，唯一分解整环）。

命题。对于整环 R，以下条件是等价的：
1) R 满足分解条件，并且 R 中任意两个元都有最大公约数
2) R 满足分解条件和素元条件
3) R 中任意元都分解为素元的积
4) R 中任意元都唯一分解为既约元的积

证明。 1) ⇒ 2) 我们需要先证明一些关于最大公约数的性质。首先 gcd ( a, b ) ∙ c = gcd ( ac, bc )。这是因为显然 gcd ( a, b ) ∙ c 既整除 ac 又整除 bc 所以整除 gcd ( ac, bc )，反过来设 gcd ( ac, bc ) = rc，则 ac = prc, bc = qrc；现在 R 是整环，所以 a = pr, b = qr，即 r 整除 gcd ( a, b )。然后我们证明，如果 gcd ( a, b ) = ( 1 ), gcd ( a, c ) = ( 1 )，则 gcd ( a, bc ) = ( 1 )。这是因为 gcd ( a, bc ) = gcd ( a ∙ gcd ( 1, c ), bc ) = gcd ( a, ac, bc ) = gcd ( a, gcd ( a, b ) ∙ c ) = gcd ( a, c ) = ( 1 )。现在我们证明如果任意两个元都有最大公约数，则既约元是素元：设 r 是既约元， r 整除 ab。取 r 和 a 以及 r 和 b 的最大公约数，由 r 的既约性，这最大公约数要么是 ( 1 ) 要么是 ( r )，而如果两个都是 ( 1 ) 那么 gcd ( r, ab ) 也是 ( 1 )，这和 r 整除 ab 矛盾。所以 gcd ( r, a ) 和 gcd ( r, b ) 中肯定至少有一个是 ( r )，这正是素元要满足的条件。 2) ⇒ 3) 是显然的。 3) ⇒ 4) 由于素元是既约元，所以分解是存在的。我们只要证明（忽略顺序和可逆元的因子）这分解是唯一的。对素元的个数使用归纳法。设素元 p₁, p₂, …, p_k 的积 p₁…p_k 又可以分解为既约元 r₁, r₂, …, r_n 的积 r₁…r_n。显然 p_k 整除 r₁…r_n。由素元的性质，存在一个 i 使得 p_k 整除 r_i。不妨设 i = n，现在 r_n 是既约元，所以 r_n = up_k 且 u 是可逆元。因为 R 是整环，所以 p₁p₂…p_{k - 1} = ur₁r₂…r_{n - 1}，于是可以对这个等式使用归纳法的假定。 4) ⇒ 1) 是显然的。 （证毕）

UFD的一个重要例子是PID（ Principal Ideal Domain，主理想整环），即任何理想都可以由一个元生成的整环。

对一个不一定可换的环 R 来说，如果把 R 本身看成是左 R-加群时这是一个Nöther加群（参见《一点点群论（一）》），则把 R 称为左Nöther环。 R 是左Nöther环的一个等价条件是 R 的所有左理想都是有限生成的。同样可以定义右Nöther环、左Artin环和右Artin环。对可换环来说左和右的区别就没有了。

PID显然是Nöther环。Nöther环的另一个等价说法是它满足极大条件，即不存在理想的无穷严格递增链。特别地，不存在主理想的无穷严格递增链，于是Nöther环都满足分解条件。下面我们证明PID满足素元条件：

命题。设 R 是PID，( a ) 是 R 的理想。则以下条件是等价的：
1) ( a ) 是极大理想
2) ( a ) 是素理想
3) a 是素元
4) a 是既约元

证明。 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) 是显然的。我们只要证明 4) ⇒ 1)。设 I 是包含 ( a ) 的极大理想，由于 R 是PID，所以 I = ( b )，所以 b 整除 a，现在 a 是既约元，所以 ( b ) 要么是 ( 1 ) 要么是 ( a ) ，而由极大理想的定义 ( b ) ≠ ( 1 )，所以 ( b ) = ( a )。（证毕）

在PID中，设 ( a ) + ( b ) = ( c ), ( a ) ∩ ( b ) = ( d )，则 c 是 a 和 b 的最大公约数， d 是 a 和 b 的最小公倍数。

PID当然是非常强的条件。但是比如说整数环 ℤ 就是PID。这是因为有辗转相除法的存在。一般地，一个可以实行辗转相除法的整环被称为Euclid整环：
如果整环 R 中的每一个元 a 都对应了一个自然数（或者更一般地说，某个良序集合的元） φ ( a )，并且对于 R 中任意一个非0元 q 和任意一个元 p，都存在一个 s 使得 p = sq + r 且 φ ( r ) < φ ( q )。这时就把 R 称为Euclid整环。

命题。Euclid整环是PID。

证明。设 R 是Euclid整环。对于 R 中的理想 I ≠ ( 0 )，把集合 { φ ( a ) | a ≠ 0, a∈I } 的最小元记为 m， I 中有一元 x 满足 φ ( x ) = m。我们证明 I = ( x )：对于 I 中任意元 p，存在 s 使得 p = sx + r 且 φ ( r ) < φ ( x )。现在 r = p - sx 当然是 I 的元，而由 x 的定义，能够满足 φ ( r ) < φ ( x ) 这条件的只能是 r = 0。（证毕）

对于Euclid整环中的任意两个元 a, b，想要求出满足 ( a ) + ( b ) = ( c ) 的 c，只要使用辗转相除法就可以了。注意辗转相除法不仅可以求出最大公约数的 c，并且还同时求出了使得 ax + by = c 的 x, y。

整数环是Euclid环。我们只要考虑通常的带余数的除法，φ ( a ) 定义为 a 的绝对值。
体 k 上的单变量多项式环 k [ X ] 是Euclid环，我们只要考虑通常的单变量多项式的带余式的除法，φ ( a ) 定义为多项式 a 的次数加一（ 0 的次数理解为 -1）。
Gauss整数环 ℤ [ i ] 也是Euclid环，这里 φ ( a + bi ) 定义为 a² + b²。对于任意的 p∈ℤ [ i ] 和 q ≠ 0 ∈ℤ [ i ]，总是存在 s∈ℚ [ i ] 满足 sq = p，现在令 s’ 是复平面上离 s 最近的 ℤ [ i ] 的元，把 | s’ - s | 设为 d，易知 d ≤ 。令 r = p - s’q，则 φ ( r ) = φ ( s - s’ ) φ ( q ) = d²φ ( q ) ≤ φ ( q ) / 2 < φ ( q )。

作为一个应用，我们来证明费马的一个著名定理：任何一个模 4 余 1 的素数都可以表示成两个整数的平方和。我们先证明模 4 余 1 的素数 p 在 ℤ [ i ] 中不再是既约元了：ℤ [ i ] 是Euclid整环所以是PID，于是 ℤ [ i ] 中的既约元就是素元。Wilson定理说素数 p 整除 ( p - 1 )! + 1，而 ( p - 1 )! ≡ ≡ ( mod p )
所以当 p 模 4 余 1 时 p 整除 ，但这个积中的和都不是 p 的倍数，所以 p 不是 ℤ [ i ] 中的素元。
于是 p 在 ℤ [ i ] 中分解为真约数的积 ab。我们有 p² = | a |² | b |²，现在 a 和 b 都不是可逆元所以 | a | 和 | b | 都不是 1，而 | a |² 和 | b |² 又都是整数，所以 | a |² = | b |² = p。特别地，设 a = s + ti，就有 | a |² = s² + t² = p。

理想几乎可以说是可换环论中最重要的概念。传统的可换环论就是理想论。这发端是Dedekind为了把整数可以唯一分解为素数的乘积这一性质推广到更一般的整数环（即 ℤ 的扩张环）上，而发现了现在被称为Dedekind环上的素理想分解的性质。比如说，中 6 可以分解为 2 ∙ 3 或者 ，这分解就不是唯一的；但是 6 生成的理想 ( 6 ) 分解为四个素理想 , , , 的积。而且我们有 , 和 , 分别对应于 6 的两种分解。也就是说， 2、 3、 、 做为元来说虽然不能继续分解了，但它们各自所生成的理想是可以继续分解的。并且这素理想的分解是唯一的。这美好的性质让Dedekind把像 这样的东西称为“理想数”，这也就是“理想”这个名词的由来。把注意力从环中的各个元转移到环中的各个理想让我们对环的理解有了质的飞跃。当然现在我们对于可换环论有从同调代数和代数几何等方向切入的多种视角，在数论中也有类体论，环中的理想论则变成了基础中的基础。

理想有时候用大写字母 I, J 来表示，但更多时候（为了强调我们把注意力从元转移到了理想）用小写的花体字母（其实应该是德语字母，但是我找不到那样的字体，只好凑和了）a, b, c, … 来表示。由元 a, b, …, c 所生成的理想（即把环本身看成是那个环上的加群而由 a, b, …, c 所生成的子群）通常写为 ( a, b, …, c )。对于理想 I、J， I + J 理解为所有形如 a + b ( a∈I, b∈J ) 的元所组成的集， I ∙ J 理解为所有形如 ∑ a_ib_i ( a_i∈I, b_i∈J, 实质上的有限和 ) 的元所组成的集。易知 I + J, I ∙ J, I ∩ J 都是理想，并且显然有 ( a ) + ( b ) = ( a, b )， ( a ) ∙ ( b ) = ( ab )，I ∙ J ⊆ I ∩ J。对于环中的元 a、 b，说 a 整除 b，即存在一个元 c 使得 ac = b，等于是说 ( a ) ⊇ ( b )。

关于理想是如何左右环的性质，我想从下面这个命题中已经可以看出一些来：

命题。环 R 是一个体，当且仅当 R 中的理想只有 ( 0 ) 和 R 本身。

证明。首先如果 R 是体，则 R 的任意非0元都是可逆的，于是 R 的理想只要含有非0元，就一定含有 1。反之，如果 R 中的理想只有 (0) 和 R 本身，也就是说任意一个非0元 a 所生成的理想 ( a ) = R，即 ( a ) 中含有 1，所以存在 b 使得 ab = 1。（证毕）

推论。设有从 K 到 R 的环同态，并且 K 是体。则 K 的像如果不是 0，这环同态就是单射。这是因为环同态的核是 K 的理想，于是由上面的命题立得。

理想中尤其重要的是素理想。环 R 的素理想定义为满足下面条件的理想 p：
1) 1∉p
2) 如果 a∉p, b∉p, 则 ab∉p。这个条件的逆否也经常用到，即如果 ab∈p，则 a 或者 b 中肯定有一个已经是 p 的元。
这两个条件也可以合起来写成，R ∖ p 是一个乘法系。

命题。 p 是 R 的素理想 ⇔ R / p ≠ 0 是整环。

证明。 素理想的第二个条件等于说是，如果 a ≠ 0 ( mod p ), b ≠ 0 ( mod p )，则 ab ≠ 0 ( mod p )。这正是商环 R / p 是整环的条件。（证毕）

推论。对于 P ⊇ I， P 是 R 的素理想 ⇔ P / I 是 R / I 的素理想。这是因为根据第三同构定理我们有 R / P ≅ ( R / I ) / ( P / I )。

推论。设有环同态 f: A → B，则如果 P 是 B 的素理想， f^-1 ( B ) 就是 A 的素理想。这是因为令 f^-1 ( B ) = p，则 f 诱导出 从 A / p 到 B / P 的单射，而整环的子环显然是整环。（如果你不喜欢这个证明，直接从定义来证也是容易的）

素理想的一个特例是极大理想，即 R 中不等于 R 的、关于包含关系极大的理想 m。由商环的理想对应，m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 的理想只有 ( 0 ) 和 R / m 本身。于是我们得到， m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 是体。体当然是整域，所以极大理想是素理想。

更一般地我们有下面的命题：
命题。设 S 是环 R 中不含 0 的乘法系。则 R 中与 S 不交的、关于包含关系极大的理想 p 一定存在，并且 p 是素理想。（特别的，如果 S = { 1 }，那这与 S 不交的关于包含关系极大的理想就是极大理想）

证明。 R 中所有与 S 不交的理想关于包含关系做成一个归纳的偏序集合，这集合中有 ( 0 ) 所以非空，于是根据Zorn引理，极大元是存在的。设 p 是这样的极大元，并设 a∉p, b∉p，则根据极大元的定义 ( a ) + p ∩ S ≠ ∅, ( b ) + p ∩ S ≠ ∅，于是存在 r, s ∈R， p, q ∈p 使得 ra + p ∈S, sb + q ∈S。现在 S 是乘法系，所以 ( ra + p )( sb + q ) ∈S，而 ( ra + p )( sb + q ) = rsab + ( sbp + raq + pq )，等式右边括号里是 p 的元，所以如果 ab∈p 的话等式右边就是 p 的元了，这和 p ∩ S = ∅ 矛盾。因此 ab∉p。（证毕）

如果你不喜欢这个证明，还有一种证法是这样：考虑局部化 f: R → R_S，取 R_S 中的极大理想 I 这当然是 R_S 中的素理想，于是 f^-1 ( I ) 是 R 中的素理想，易知这素理想与 S 不交。接下来我们会看到事实上 R 中与 S 不交的素理想是与 R_S 中的素理想一一对应的，这就是下面被称为“局部化的理想对应”的命题：

命题。设 S 是 R 的乘法系， f: R → R_S 是 R 的局部化。这时把 R_S 的理想 J 映到 R 的理想 I := f^-1 ( J )（一般来说，假设有环同态 f: A → B，则 B 的任意一个理想 J 的原像 f^-1 ( J ) 也是 A 的理想；但反之对于 A 的理想 I， f ( I ) 却不一定是 B 的理想）给出了一个映 R_S 的理想到 R 的理想的单射。这时 J 正好是 f ( I ) 在 R_S 中所生成的理想。存在于这单射的像中的 R 的理想 I 由下列特征来刻画：如果存在 s∈S 使得 sa∈I，则 a∈I。特别的，R_S 中的素理想和 R 中与 S 不交的素理想一一对应。

证明。设 R_S 中有两个不同的理想 J, L。不妨设 L ∖ J ≠ ∅。这时从 L 中取出一个不属于 J 的元 r / s ( r∈R, s∈S )，则 f ( r ) = r / 1 不可能属于 J，但 r 却是 f^-1 ( L ) 中的元。于是 f^-1 ( L ) ≠ f^-1 ( J )。所以这理想对应是单射。如果 I = f^-1 ( J )，由于 f ( I ) 生成的理想是其原像包含 I 的 R_S 中最小的理想，所以由理想对应的单射性 J 就是由 f ( I ) 生成的。因此能被对应到的 R 中的理想就是满足条件 f^-1 ( f ( I ) ) = I 的理想 I，把这具体写出来就是命题中的条件。根据这个条件，由素理想的定义立知 R 中与 S 不交的素理想都是能够被 R_S 中的某个理想对应到的。现在设 p 是 R 中与 S 不交的素理想，则 f ( p ) 生成的 R_S 中的理想 P 也是素的，因为这时 r / s ∈P ⇔ r∈p，所以如果 r / s ∉P, t / u ∉P 则 rt∉p 于是 rt / su ∉P。（证毕）

在代数几何中，把可换环看成是一个几何的对象，这几何对象的点就是这环的素理想。因此局部化相当于说是取出其中一部分的点来考察，这也是“局部化”这名称的由来。

假设有环同态 f: A → B 和 B 中的理想 J，如果这 f 是自明的或规定好的，这时出于简便起见我们通常把 f^-1 ( J ) 写为 J ∩ A。对于 A 中的理想 I 则把 f ( I ) 生成的 B 中的理想写为 IB。

命题。取商的操作和局部化的操作是可换的。也就是说，设有环 A，A 中的乘法系 S，以及 A 的理想 I。把 S 在 A / I 中的像记为 S’。则 ( A / I )_S’ 与 A_S / IA_S 自然地同构。

证明。定义从 A_S 到 ( A / I )_S’ 的同态映射把 a / s 映到 [ a ] / [ s ]。这显然是全射，下面来计算它的核： [ a ] / [ s ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. [ a ][ t ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. at∈I ⇔ a / s ∈ IA_S。所以这核是 IA_S。（证毕）

不同的乘法系的局部化是可能相同的。对于一个乘法系 S，把 S 中的元的所有约数（即整除 S 中某个元的数）都收集起来，就作成了一个比 S 大的乘法系 T，但是用 T 来局部化和用 S 来局部化是一样的，因为如果 ut = s，我们就可以把 r / t 看成是 ur / s。这个 T 被称为 S 的饱和化。

命题。 R ∖ T 是所有与 S 不交的素理想的合并。T = { r∈R | r / 1 是 R_S 的可逆元 }。

证明。首先与 S 不交的理想也一定与 T 不交，然后对于 R ∖ T 的任意一元 a， ( a ) 与 T 不交，所以存在包含 ( a ) 而又与 T 不交的极大的理想，这当然是素理想。这就证明了命题的前半部分，后半部分由前半部分和局部化的理想对应立得。（证毕）

设有环 R 和 R 的素理想 p。 R ∖ p 当然是乘法系，关于这个乘法系的局部化记为 R_p。这其实是个很糟糕的记号（R_p 和 R_{R ∖ p} 是一个东西！），但是出于惯例，而且一般也不大会引起误解。（在Bourbaki里乘法系 S 的局部化就改用了 S^-1R 来表示，但也许是这样子记法不够酷吧，现在大家似乎都不用）

由局部化的理想对应，环 R_p 中只有一个极大理想 pR_p。一般地把只有一个极大理想的环称为局部环。显然局部环中不属于那个极大理想的元都是可逆的。局部环的例子，除了局部化以外还有幂级数环：

命题。局部环 A 上的幂级数环 A [[ X ]] 也是局部环。

证明。设 A 的极大理想为 m。则 A [[ X ]] 中所有形如 m + a₁X + a₂X² + a₃X³ + … ( m∈m, a_i∈A ) 的元做成 A [[ X ]] 的一个理想 I，我们证明这是唯一的极大理想。为此只要说明 A [[ X ]] ∖ I 的元都是可逆的就好了。这由通常的幂级数的除法立刻就可以看出：用 u + a₁X + a₂X² + … ( u 是 A 的可逆元 ) 去除 1，得到 u^-1 - u^-2a₁X + u^-2 ( u^-1a₁² - a₂ ) X² + … 。（证毕）

下面是一个表现出素理想的“素”性的命题，被称为“lemma of prime avoidance”。
命题。设 p₁, p₂, …, p_r 和 P 都是素理想，则
1) p₁p₂…p_r ⊆ P ⇒ ∃i s.t. p_i ⊆ P
2) P ⊆ p₁ ∪ p₂ ∪ … ∪ p_r ⇒ ∃i s.t. P ⊆ p_i

证明。 1) 如果 ∀i p_i ⊈ P，则我们可以从每个 p_i 中取出一个不属于 P 的元 a_i。于是 a₁a₂…a_r 不属于 P （因为 P 是素理想）但却是 p₁p₂…p_r 的元，矛盾。 2) 我们只要证明总是存在一个 i 使得 P ⊆ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，然后对 r 应用归纳法即可。如果 ∀i P ⊈ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，则对每个 i，可以从 P 中取出一个元 a_i 不属于 p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，这时当然 a_i∈p_i。考虑元 a₂…a_r + a₁a₃…a_r + … + a₁a₂…a_{i - 1}a_{i + 1}…a_r + … + a₁…a_{r - 1}，这个和中除第 i 项不是 p_i 的元（因为 p_i 是素理想）之外其余都是 p_i 的元，因此这个和不属于任何一个 p_i，但它显然是 P 的元，矛盾。（证毕）

从证明中可以看出这个命题的 1) 中没有用到各 p_i 的素性， 2) 中则没有用到 P 的素性，因此它们各自都是可以加强的。但为了美观起见，而且在通常的应用中这样的陈述已经足够了。

由 1) 立即得到，如果 p₁ ∩ … ∩ p_r ⊆ P，则 P 包含某个 p_i。这是因为 p₁…p_r ⊆ p₁ ∩ … ∩ p_r 的缘故。

p 是 R 的素理想当且仅当 R / p 是整环。而整环的意思是除了 0 以外没有 0因子。所以从直观上说我们只要把 0因子模掉就应该可以得到一个整环。这就是下面的命题。

命题。（关于包含关系的）极小素理想的元都是 0因子。

证明。环 R 中的所有非 0因子作成一个乘法系。把这乘法系记为 S。而对于 R 中任意一个素理想 P， R ∖ P 也作成一个乘法系，记为 T。由这两个乘法系所生成的乘法系 ST 不含 0，因为 T 不含 0 而 S 中又都是非 0因子。因此存在与 ST 不交的关于包含关系极大的理想 p，这 p 显然是包含于 P，其元都是 0因子的素理想。（证毕）

定义。设 R 是环， I 是 R 中的理想。I 的根定义为集合 { a∈R | ∃n∈ℕ s.t. aⁿ∈I }，即其幂属于 I 的所有元组成的集合，写为 rad ( I )。容易看出 rad ( I ) 是一个理想。满足 rad ( I ) = I 的理想 I 称为根理想。

根的下面三条性质是容易的：
1) rad ( I ) ∩ rad ( J ) = rad ( I ∩ J ) = rad ( I ∙ J )
2) 设 I ⊆ J，则 rad ( I ) ⊆ rad ( J )
3) 设 I ⊆ J，则 rad ( J ) / I = rad ( J / I )

素理想显然是根理想。 ( 0 ) 的根是由 R 中所有幂零元所组成的，这特别写为 nil R。

命题。 rad ( I ) = ∩ p ( p 跑过所有包含 I 的素理想 )。特别地， R 中所有素理想的交正是 nil R。

证明。如果 I 不是 ( 0 )，我们只要考虑 R / I 就将其化为 I = ( 0 ) 的情形。现在显然 ( 0 ) ⊆ ∩ p，在两边取根就得到 nil R ⊆ ∩ rad ( p ) = ∩ p。反方向的包含关系，对于不属于 nil R 的任意元 a，乘法系 { 1, a, a², a³, … } 都不包含 0，所以存在和这乘法系不交的素理想。（证毕）

对一般的环来说只能将根理想像这样表示成素理想的交，像Dedekind环中“任意一个理想唯一表示成有限个素理想的积”这样的美好性质通常是不成立的。关于Dedekind环的详细内容放在下下节。

从现在起，提到环都认为是可换环，体都认为是可换体。

环的扩张

设 B 是环， A 是 B 的子环。设 a, b, c, … 是 B 的一些元，则 A [ a, b, c, … ] 理解为 B 中那些可以表成以 A 中元为系数的 a, b, c, … 的多项式的元的集。这是 B 中包含 A 和 a, b, c, … 的最小的环。这被称为把 a, b, c, … 添加于 A 中而生成的环，a, b, c, … 称为其（在 A 上的）生成系。当生成系是有限的时候，就称之为 A 上的有限生成代数。注意一个 A 上的代数作为 A-代数的有限生成性和它作为 A 加群的有限生成性是完全不同的概念。

环的扩张的最重要的例子大概是 ℤ 在 ℂ 中的扩张。粗略地说数论就是研究 ℤ 在 ℂ 中的各种扩张环，比如说 、 之类的性质。

多项式环

以 X₁, X₂, …, X_n 为变元的环 A 上的多项式环写为 A [ X₁, X₂, …, X_n ]。显然我们有 A [ X₁, X₂, …, X_r ] [ X_{r + 1} ] = A [ X₁, X₂, …, X_r, X_{r + 1} ]。环 A 的扩张 A [ a₁, a₂, …, a_n ] 可以看成是 A [ X₁, X₂, …, X_n ] 的某个商环。更一般地说，对任意一个 A-代数 B 和 B 中的任意 n 个元 b₁, b₂, …, b_n，都唯一存在一个从 A [ X₁, X₂, …, X_n ] 到 B 的 A-代数的同态映射，把各 X_i 映到 b_i。一般来说像多项式环中的 X₁, X₂, …, X_n 这样相互之间没有任何关系的独立变量用大写字母来表示，而像 b₁, b₂, …, b_n 这样相互之间可能有关系的元则用小写字母。

幂级数环

以 A 的元为系数、 X₁, X₂, …, X_n 为变元的形式上的幂级数所组成的环记为 A [[ X₁, X₂, …, X_n ]]。和多项式环一样，对幂级数环我们也有 A [[ X₁, X₂, …, X_r ]] [[ X_{r + 1} ]] = A [[ X₁, X₂, …, X_r, X_{r + 1} ]]。

局部化

定义。环 A 的子集 S 称为乘法系，如果 S 满足条件： 1∈S; ∀ a, b ∈S，ab∈S。

以一个乘法系 S 的元为分母，A 的元为分子构成的所有分数组成分数环称为 A 的局部化，写为 A_S。具体说来， A_S 由形如 a / s ( a∈A, s∈S ) 的元组成，并且把 a / s 和 b / t 看成是一样的，如果存在 S 的元 u 使得 atu = bsu。不难确认这是一个等价关系，并且在 A_S 中定义了加法和乘法，如同通常的分数的加法和乘法一样。

自然地有一个从 A 到 A_S 的环同态，把 A 的元 a 映到 A_S 的元 a / 1。由定义，A_S 的元 a / s = 0 当且仅当 ∃u∈S s.t. ua = 0，所以当 S 中包含 0 的时候 A_S 是 0环。令一方面当 A 是整环时 A 到 A_S 的那个映射是单射。特别地在这时 A 中所有的非0元作成一个乘法系， A 关于这个乘法系的局部化显然是一个体，称为 A 的分数体。这时 A 的任何一个局部化都可以看成是这分数体的一个子环。

局部化的第一个例子当然是 ℤ 的分数体 ℚ。对于环 A 的任意元 f，集合 { 1, f, f², f³, … } 显然是 A 的一个乘法系，关于这个乘法系的局部化通常写为 A_f。

至于这个名字“局部化”的由来，大概必须得知道一点代数几何才能理解。

半群环

设 S 是一个可换的幺半群。则半群环 A [ S ] 定义为在以 S 中的元为基生成的 A 上的自由加群中根据 S 的半群结构定义乘法而构成的环。具体说来就是， A [ S ] 的元唯一表示成 ∑ a_is_i ( a_i∈A, s_i∈S ) 的形式，并且这求和中只有有限个 a_i 不为 0（这条件有时被称为实质上的有限和）。 A [ S ] 中的乘法定义为， ( a_is_i ) ∙ ( a_js_j ) := ( a_ia_j )( s_is_j )，其中 a_ia_j 环 A 中的乘法， s_is_j 是半群 S 中的乘法。然后对于 ( ∑ a_is_i ) ∙ ( ∑ b_js_j ) 只要应用乘法分配律即可。

比如说自然数关于加法作成的半群 ℕ 所生成的半群环 A [ ℕ ] 正是多项式环 A [ X ]。更一般的， A [ ℕⁿ ] = A [ X₁, …, X_n ]。

半群环的最重要的例子大概是 ℤ^d 中由有限个元 a₁, a₂, …, a_n 所生成的半群 S 作成的半群环 A [ S ]。其中 a₁, a₂, …, a_n 都配置在 ℤ^d 的某个不通过原点的超平面上。这样一个环被称为 toric ring，在组合代数、代数几何和弦论中都是重要的研究对象。

直积

环 A 和 B 的直积 A × B 理解为，对集合 A × B 的两个元 ( a₁, b₁ ) 和 ( a₂, b₂ )，规定它们的和与积分别为 ( a₁ + a₂, b₁ + b₂ )、 ( a₁a₂, b₁b₂ )。更一般地，一大堆环 A_λ ( λ∈Λ ) 的直积定义为在集合 ∏ A_λ 中以各个坐标分别相加、相乘作为加法、乘法而构成的环。

张量积

设有 A-代数 B 和 C。则 B 和 C 作为 A-加群的张量积 B ⊗_A C 也是一个环。特别地， A [ X ] ⊗_A A [ Y ] = A [ X, Y ]。

归纳极限和射影极限

环的归纳系和射影系的极限都仍旧是环。张量积、归纳极限和射影极限的详细，放在下下章《同调代数》中。

环是一个集，在上面定义了加法和乘法两种运算，环的元关于加法做成可换群，关于乘法做成幺半群，加法和乘法之间由分配律联系起来。具体写出来就是下面的公理：

1. 加法交换律。 a + b = b + a
2. 加法结合律。 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. 存在 0，对于任意 a 都有 0 + a = a
4. 对于任意 a，都存在 a 的相反数 -a，满足 a + ( -a ) = 0
5. 乘法结合律。 ( ab ) c = a ( bc )
6. 存在 1，对于任意 a 都有 1a = a1 = a
7. 分配律。 ( a + b ) c = ac + bc， c ( a + b ) = ca + cb

如果这乘法还满足交换律 ab = ba，则称为可换环。 0 和 1 都是唯一的，这和群的情况一样。而由分配律，我们对任意的 a 有 a = ( 0 + 1 ) a = 0a + a，所以 0a = 0。同样可证 a0 = 0。所以如果在某个环中有 0 = 1，则这个环只能有 0 = 1 这一个元。把这样的环称为0环。

对于环中的元 a，如果存在 b ≠ 0 使得 ab = 0，就把 a 称为左0因子。同样地可以定义右0因子。如果一个可换环除了 0 之外其他元都不是0因子，就把它称为整环。整环的所有非0元关于乘法做成可换的幺半群。整环的这个幺半群如果做成一个群，即如果非0元的乘法总是可逆的，则把这整环称为域。域的例子有有理数域 ℚ，实数域 ℝ，复数域 ℂ。如果把域的“乘法可换”的条件去掉，只要求所有非0元关于乘法做成一个群，这就称为一个体。特别把乘法不可换的体称为斜体。斜体的例子有四元数体 ℍ。

环的最初的例子是整数环，即所有整数关于加法和乘法做成的环，这是一个整环，记为 ℤ。

环 A 到环 B 的（关于环的）同态映射 f 定义为满足条件： f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )、 f ( ab ) = f ( a ) f ( b )，还有 f ( 1 ) = 1 的映射。环的同态映射如果是全单射，那它也是同构。

对于任意的环 A，我们都有从 ℤ 到 A 的唯一的同态映射 f： f 必须把 ℤ 的 1 映到 A 的 1，而 ℤ 的任意一个大于 0 的元 n 可以写成n个 1 相加，于是 f 必把 n 映到 A 中的n个 1 相加的和。 ℤ 中任意一个小于 0 的元 -n 又是 n 的相反数，于是它的像也是确定的。容易看出这样定义的映射总是同态映射，并且 ℤ 在 A 中的像与 A 中的所有元都是关于乘法可换的（因为这像总是若干个 1 的和或其相反数）。

一般地，我们把环 B 称为可换环 A 上的代数，如果规定好了一个从 A 到 B 的环同态，并且在这环同态下 B 的任意元都是和 A 的像关于乘法可换的。（ B 中与所有元关于乘法可换的元全体做成 B 的一个子环（子环的定义该是明显的吧），把这子环称为 B 的中心，写成 C_B。于是 B 是 A 上的代数也就是说指定了一个从 A 到 C_B 的环同态。）从上一段中我们知道任意一个环都可以看成是 ℤ 上的代数。（从“代数”这个夸张的名字，你也可以看出环和环的同态映射在整个代数学中占有多大的分量）

A-代数 B 到 A-代数 C 的（作为 A-代数的）同态映射定义为从 B 到 C 的满足条件： f ∘ τ_B = τ_C 的环的同态 f。其中 τ_B 和 τ_C 分别是规定好的从 A 到 B 和从 A 到 C 的环同态。

代数的最初的例子是域 k 上的多项式环 k [ X₁, X₂, …, X_n ]，即变元 X₁, X₂, …, X_n 的所有 k 系数多项式所组成的环。 k 到 k [ X₁, X₂, …, X_n ] 的环同态，当然是理解为把 k 的元原封不动地映成 k [ X₁, X₂, …, X_n ] 中的常数多项式。

我们看到 A-代数的概念是“相对于 A 来说的”，也就是说代数的概念是环的概念的相对版本。“数学应该是相对的”（Grothendick语），这话虽然我还没有太透彻地理解，但它到底是伟大的Grothendick说的。这大体的意思和范畴论的思想差不多，也是说我们与其讨论一个环 A（或者其他的什么结构）的性质，还不如讨论一个在XX上的代数 A，也就是从XX到 A 的映射的性质。以多项式环为例，我们讨论多项式环的结构，而不关心 k 具体是什么。

环上的加群定义为有环作用于其上的加群。要求这环的作用满足：环上的加法与加群上的加法一致，环上的乘法与作用的合成一致。如果环是非可换的，那么和群的作用一样这也有从左边作用还是从右边作用的区别。具体说来如果有一个环 R，则左 R-加群定义为这样的加群 M：

1. R 中任意一元 r 都对应了 M 到其自身的一个（作为加群的）同态映射（即在 M 上的作用）
2. 把 R 的作用写在左边，则作用的合成与 R 的乘法一致。即，对于 R 中的元 r 和 M 中的元 x，把 r 作用于 x 得到的像记为 rx，则对 R 中任意两元 r、 s 都有 r ( sx ) = ( rs ) x（先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 sx，得到的像正好是把 rs 作用于 x 得到的像）。
3. R 的加法与 M 的加法一致。即对于 R 中两元 r、 s 和 M 中一元 x，有 ( r + s ) x = rx + sx

同样地可以定义右 R-加群。而对于环 R、 S，两侧 ( R, S )-加群 M 定义为： M 既是左 R-加群又是右 S-加群，并且 R 的作用与 S 的作用是可换的。具体写出来就是，对于 R 的元 r、 S 的元 s 和 M 的元 x，有 ( rx ) s = r ( xs )，即先把 r 作用于 x 再把 s 作用于 rx，或是先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 xs，得到的结果是一样的。

环 R 本身可以看成是两侧 ( R, R )-加群。如果有环同态 f: R → S，则任意左 S 加群可以通过 f 看成是左 R-加群，右 S-加群也是一样。特别的， S 可以看成是两侧 ( R, R )-加群。对于任意的加群 M，把 M 的自同态环定义为由所有 M 到其自身的同态映射，以映射的合成作为乘法做成的环。环的加法是这样定义的：设有从 M 到 M 的同态映射 f、 g，则 f + g 定义为把 M 的元 x 映到 f ( x ) + g ( x ) 的映射，由于加法是可换的所以这是一个同态映射。不难验证这样的定义确实做成了一个环。这个环通常写为 End ( M )，如果按照习惯把映射写在左边， M 可以看成是左 End ( M )-加群。由于任意的环都可以看成是 ℤ 上的代数，所以任意的环上的加群都可以看成是 ℤ-加群。特别的，Abel群都可以看成是 ℤ-加群。容易看出Abel群的子群和它作为 ℤ-加群的子群是一致的。这样环上的加群的理论就完全涵盖了Abel群的理论。

环上的加群的同态映射就是考虑了环的作用的群的同态映射，《一点点群论（一）》中的定义和定理都完全适用。当 R 是可换环时， R-加群的同态映射有时被称为 R-线性映射。

环 R 本身可以看成左 R-加群，所以我们可以考虑 R 中的左 R-子群。这有一个特别的名字叫做 R 中的左理想。同样地可以定义右理想和两侧理想。当 R 是可换环时，就称为理想。这可是数学中少有的浪漫名字，我在这里不说它的来源，你尽可以发挥想象。不过注意请不要混淆子环的概念和理想的概念。子环定义为环中包含 0、 1，关于乘法（自己的元之间的乘法）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想则是环中包含 0，关于 R 的作用（也就是乘以 R 中任意一元）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想中如果含有 1，那它一定是 R 全体。

环 R 模它的左（右）理想得到的商当然是左（右） R-加群。而 R 模它的两侧理想，得到的商不仅有两侧 ( R, R )-加群的结构，还具有环的结构。这称为 R 的商环。为了看到这一点，我们设 R 的两侧理想为 I，对于 R 中任意两元 a、 b，有，而 I 是两侧理想，所以，于是乘法是well-defined的。商环通常写为 R / I， R 的两个元 a、 b 在 R / I 中的像如果相等，就写为 a = b ( mod I )。

如果 f: A → B 是一个环同态，（与群的情况类似）把 f ( A ) 称为 f 的像，写成 Im f， f^-1 ( 0 ) 称为 f 的核，写成 Ker f。容易看出 Im f 是 B 的子环， Ker f 是 A 的两侧理想。如果 f 是全射，则 f 自然诱导出从商环 A / Ker f 到 B 的同构。这时 B 的左 B-子群，与通过 f 把 B 看成左 A-加群时的左 A-子群是一致的。并且 f 显然也是 A-加群的同态映射。于是根据群的第一同构定理， B 的左理想与 A 中包含了 Ker f 的左理想之间存在一一对应。把这段话中的“左”全部换成“右”或者“两侧”也是成立的。这就是所谓的理想对应。

有限群

有限群是可以数出个数来的。这“个数”的存在虽然看起来不起眼但其实是非常强力的条件。最明显的，设群 G 中有一个 m 阶的子群 N（即 N 含有 m 个元。一般地把有限群所含有的元的个数称为这个群的阶），则 N 的任意一个左（右）旁系显然都正好有 m 个元。这样我们就立即有下面的定理：

定理。如果 n 阶群 G 有一个 m 阶子群 H，则 m 是 n 的约数，而 n / m 是 H 的左（右）旁系的个数。

由这定理又立即作出下面的推论：

推论1。对 n 阶群 G 的任意元 a 都有 aⁿ = 1。

推论2。素数阶群 G 是循环的、单纯的。

证明只要考虑到 G 中任何一元的阶（元 a 的阶定义为由 a 所生成的子群的阶，易知这是满足条件 a^d = 1 的最小的自然数 d）都是 | G | 的约数就可以了。（用 | G | 来表示 G 的阶，一般地我们把有限集合 A 所包含的元的个数记为 | A |）

著名的费马小定理说，如果 p 是素数且 a 不被 p 整除，则 a^{p - 1} ≡ 1 ( mod p )。从推论1的角度来看，这件事只是因为不被 p 整除的所有整数除以 p 得到的同余等价类们，关于乘法做成一个有 p - 1 个元的群。顺便说一下，任何有理数都能表示成有限或循环小数，这件事也是因为有费马小定理。关键在于对任意一个不是 2 或 5 的素数 p， 10^{p - 1} - 1 总是 p 的倍数，于是 1 / p 可以表示成 x / ( 10^{p - 1} - 1 ) 的样子，这是一个循环节长度整除 p - 1 的循环小数。

定义。设有群 G 作用在集合 A 上。对于 A 的任意一元 x，把 G 作用于 x 所得到的像全体称为 x 的 G-轨道，记为 Gx。 G 中那些作用于 x 后仍然得到 x 的元所组成的子群称为 x 的固定群，记为 Stab ( x )。

定理。设 G 从左边作用于 A 上，则 Stab ( x ) 的左旁系与 Gx 的元自然地一一对应。如果是从右边的作用则反之。

证明。由定义这几乎是显然的。（证毕）

当 G 是有限的时候，我们得到 | Gx | = | G | / | Stab ( x ) |，特别的， | Gx | 一定是 | G | 的约数。由此出发我们得到很多有用的结论。

比如有时我们想计算一些东西的数量，这些东西有一定的对称性，我们希望把那些互相对称的东西看成是一样的，而计算所有的等价类的数量。这用数学的语言来说就是有一个群 G 作用在集合 A 上，我们想要计算 A 中所有 G-轨道的个数。这时我们有下面的定理：

定理。设有有限群 G 作用在有限集合 A 上，则 A 中所有 G-轨道的个数为 ( ∑ | A_σ | ) / | G |，其中 σ 跑过 G 中所有的元，而 A_σ 由 A 中所有在 σ 的作用下不变的元所组成。

证明。 A 中所有 G-轨道的个数

第一个等号是显然的，第二个等号由上一个定理，第三个等号是因为，“对 A 的所有元 x，把满足 σx = x 的 G 中所有 σ 的个数加起来”与“对 G 的所有元 σ，把满足 σx = x 的 A 中所有 x 的个数加起来”这两件事是一样的。（证毕）

举一个例子。六个苹果六个梨，分三堆，问有多少种分法？这问题中苹果和苹果之间，梨和梨之间，以及堆和堆之间都是没有区别的。现在我们先假设堆和堆之间是有区别的，即考虑“把六个苹果六个梨分到编号为一、二、三号的三个箱子里”，把这样的所有的分法的集合记为 A。把三个箱子的置换群记为 G，我们要求的是 G 作用于 A 上的所有轨道的个数。 G 的元可以分为三种：

• 长度 3 的巡回置换： ( 1 2 3 )， ( 3 2 1 )
• 两个元的对换： ( 1 2 )， ( 2 3 )， ( 3 1 )
• 恒等变换

被长度 3 的巡回置换所固定的 A 中的元，也就是使三个箱子里每个箱子的内容都一样的分法，总共只有一种，即每个箱子里都是两个苹果两个梨。而被对换所固定的 A 中的元，也就是有两个箱子的内容是一样的分法，考虑内容一样的两个箱子的其中一只，这箱子里可以有 0 到 3 个苹果和 0 到 3 个梨，因此共有 16 种可能。接下来被恒等变换固定的 A 中的元也就是 A 中所有的分法，这分法可以描述为：先把 6 个苹果分到 3 个箱子里（这共有 ( 2 + 6 ) ! / ( 2! × 6! ) = 28 种方法），再把 6 个梨也分到 3 个箱子里（同样是 28 种分法）。因此一共是 28 × 28 = 784 种分法。应用上面的定理，我们就得到把六个苹果六个梨分三堆的分法共有 ( 1 × 2 + 16 × 3 + 784 × 1 ) / 6 = 139 种。

接下来我们通过讨论群 G 在其本身上的作用来得到一些重要的定理。

定义。如果群 G 的阶是某素数 p 的幂，就称 G 为 p-群。

定义。我们把群 G 称为可解的，如果存在 G 的一个递降子群链 G = G₀ ⊃ G₁ ⊃ … ⊃ G_{n - 1} ⊃ G_n = { 1 } 满足条件：对于任意的 i， G_{i + 1} 是 G_i 的正规子群，并且 G_i / G_{i + 1} 是Abel群。

可解群的概念源于Galois理论，一个一元高次多项式的根能够用根号表示出来的充分必要条件是这多项式的Galois群是可解的。如果 G 是有限群，那么 G 可解等于是说 G 的组成因子都是素数阶的循环群，因为显然单纯的Abel群只能是素数阶的循环群。

定理。 p-群 G 是可解的。

证明。设 | G | = p^e，对 e 使用归纳法。 e = 1 的时候命题显然成立。对于一般的情形，考虑 G 通过取共轭作用于 G。这时其 G-轨道只有一点的 G 中的元，是与 G 中所有元都可换的元，它们组成 G 的中心 Z ( G )。而 G 中如果有某元 x 的 G-轨道多于一点，由前定理知 | Gx | 是 | G | 的约数，现在 | G | 是 p 的幂，所以 | Gx | 是 p 的大于一次的幂。特别的， | Gx | 是 p 的倍数。所有的轨道合起来正好拼成 G，所以我们得出结论 | Z ( G ) | 必是 p 的倍数。这样就有 Z ( G ) ≠ { 1 }。于是 | G / Z ( G ) | 严格比 | G | 小，并且 G / Z ( G ) 也是 p-群。这样就可以对 G / Z ( G ) 应用归纳法的假定，而 Z ( G ) 又显然是Abel群，于是命题得证。（证毕）

定义。对有限群 G，设 | G | = p^em，其中 p 是素数而 m 不被 p 整除。这时把 G 中正好含有 p^e 个元的子群称为 G 的Sylow p-子群。

定理。（Sylow定理）设 G 是有限群， p 是 | G | 的素因子，并设 G 中Sylow p-子群的个数为 n。我们有 n ≡ 1 ( mod p )，特别地Sylow p-子群总是存在。进一步设 P 是 G 的一个Sylow p-子群，则 G 的任意一个 p-子群 H 都一定被包含在 P 的某个共轭中，特别地 G 中的任意两个Sylow p-子群都共轭。

证明。设 | G | = p^em， m 不被 p 整除。考虑由 G 中所有包含 p^e 个元的子集所组成的集合 S，并让 G 以左乘作用于 S。 | S | 等于二项系数，通过计算我们知道 | S | ≡ m ( mod p )。如果你不会算这个东西，这证明的后面提供了一种方法。现在对于 S 中的一元也就是 G 的一个包含 p^e 个元的子集 X， Stab ( X ) 是 G 的 p-子群，因为我们可以考虑 Stab ( X ) 在集合 X 上左乘地作用，这样容易看出 X 是由 Stab ( X ) 的一些右旁系拼成的，而 | X | = p^e，所以 | Stab ( X ) | 是 p 的幂。如果 Stab ( X ) 不是Sylow p-子群，那 | GX | = | G | / | Stab ( X ) | 就是 p 的倍数；但现在 S 是由 X 们的 G-轨道拼成的而 | S | ≡ m ( mod p ) 不是 p 的倍数，所以使得 Stab ( Y ) 是Sylow p-子群的 Y 一定存在，对于这样的 Y 来说 | GY | = m。在这时 Y 显然是 Stab ( Y ) 的一个右旁系，把这右旁系记为 Stab ( Y ) x。于是 Y 的 G-轨道可以看成是由Sylow p-子群 x^-1 Stab ( Y ) x 的 m 个左旁系所组成的，特别地我们得到，每个这样的 Y 的 G-轨道里都正好有一个Sylow p-子群。设这样的 G-轨道共有 n 个，我们就有 nm ≡ | S | ≡ m ( mod p )，于是 n ≡ 1 ( mod p )。这样就证明了定理的前半部分。
后半部分，令 P 为 G 的一个Sylow p-子群，则 P 的 G-轨道是由 P 的 m 个左旁系组成的。对于 G 的任意一个 p-子群 H，考虑 H 在 GP 上左乘地作用，由于 | H | 是 p 的幂，所以每个多于一点的 H-轨道都是 p 的倍数，但现在 | GP | = m 不是 p 的倍数，因此 GP 中一定存在 H 作用下的不动点。但 GP 的元，也就是 P 的左旁系 xP，的固定群 Stab ( xP ) 显然是 xPx^-1，所以如果 xP 是 H 不动点，就有 H ⊆ xPx^-1。（证毕）

附关于 | S | ≡ m ( mod p ) 的证明：
首先当 p 为素数且 i ≠ 0 或 p 的时候二项系数总是 p 的倍数，因为而比 p 小的数的阶乘中显然不会含有 p 的因子。这意味着我们有公式 ( a + b )^p ≡ a^p + b^p ( mod p )。 | S |是的二项展开中项的系数，所以应用公式我们有。（证毕）

Sylow定理几乎可以说是“有限群论的基本定理”。在决定一个 n 阶群的结构的时候我们通常都先用Sylow定理找出它的Sylow子群，再进行详细分析。这里举两个简单的例子，不过在举例之前还有一个小小的命题。

命题。设有有限群 G 和 G 的子群 N。则 N 的共轭的个数是 N 的旁系的个数的约数。

证明。考虑 N 的所有共轭所组成的集合 S， G 通过取共轭作用于 S。 S 中只有一个 G-轨道，而显然 N ⊆ Stab ( N )，因此 | S | = | G | / | Stab ( N ) | 是 | G | / | N | 的约数。（证毕）

现在我们来决定 6 阶和 15 阶的群的结构。
6 = 2 × 3，所以根据Sylow定理， 6 阶群中一定有一个 2 阶子群和一个 3 阶子群。 2、 3 都是素数，所以它们都是循环群，分别记为 C₂、 C₃。Sylow定理还说， 3 阶子群的共轭的个数除以 3 余 1；而前面那个定理说共轭的个数是 2 的约数。于是我们得出结论 C₃ 的共轭只有 1 个，也就是说 C₃ 是个正规子群。显然 C₃ ∩ C₂ = { 1 }， C₃C₂ 是全体，所以一个 6 阶的群一定分解为 C₂ 作用于 C₃ 上的半直积。容易知道 Aut ( C₃ ) 是 2 阶循环群，所以从 C₂ 到 Aut ( C₃ ) 的同态映射有两种，这两种同态映射所定义的两种半直积分别对应于 6 阶循环群 C₆ 和 3 次置换群 S₃。
同样的， 15 = 3 × 5，所以 15 阶群中一定有一个 3 阶子群和一个 5 阶子群。把它们记为 C₃、 C₅。通过完全类似的讨论我们知道 C₅ 是正规子群，一个 15 阶的群一定分解为 C₃ 作用于 C₅ 上的半直积。现在 Aut ( C₅ ) 是 4 阶循环群，所以从 C₃ 到 Aut ( C₅ ) 的同态映射只有平凡的一种，也就是说 15 阶的群只有循环群。

由以上的讨论我们特别地知道 3 次置换群 S₃ 是可解的。在最后我将来描述一下这可解性与 3 次方程的解法之间的关系。
为此我们先来看看 2 次方程的解法。我很讨厌配方法，嫌它实在是太难看了。而且也记不住公式。我愿意将 2 次方程的解法叙述成这种形式：设方程 x² - px + q = 0 的根为 a、 b，则有

然后我们计算 ( a - b ) ² = p² - 4q，开平方根就得到 a - b，再结合 a + b = p 的条件就可以解出来了。
但是这里的 ( a - b ) ² 是个什么东西？为什么要计算这个 ( a - b ) ² 呢？这个式子中的负号事实上来自于 1 的另外一个平方根， -1。我们把 a 和 b 互换一下，则 a - b 就变成了 b - a，它是原来的 a - b 的 -1 倍，所以平方了以后就是 1 倍了——也就是说， ( a - b ) ² 是关于 a、 b 对称的。方程的系数本质上就是根的基本对称式，所以 ( a - b ) ² 是可以用方程的系数表示出来的。
现在我们再来看 3 次方程的情况。设方程 x³ - rx² + sx - t = 0 的根为 a、 b、 c，我们取 1 的 3 次原根 ω（ = ），然后考虑 a + bω + cω²。把 a、 b、 c 巡回置换一下这式子就变成了 c + aω + bω²，是原来的 ω 倍。于是把 ( a + bω + cω² ) 三次方一下就变成关于 a、 b、 c 的巡回置换不变的式子了。一般的来说这种方法只能得到关于某种巡回置换不变的式子；我们能否通过不停地取这种关于巡回置换不变的式子而最终达到完全的对称式，决定了最终 a、 b、 c 是否可以用系数的加减乘除和根号表示出来。这也是方程用根号解的可能性与群的可解性联系起来的本质之处。非常幸运的， 3 次置换群模掉 3 阶巡回置换群后得到一个 2 阶巡回群，因此 a、 b、 c 是可以解出来的。具体计算（的概略）如下：
首先我们如果知道了 a + b + c、 a + bω + cω²、 a + bω² + cω，就可以通过解 3 元 1 次方程组求出 a、 b、 c。现在 a + bω + cω² 和 a + bω² + cω 取立方以后都是巡回置换不变的；这里以 a + bω + cω² 为例：

这结果中完全对称的部分，即 a³ + b³ + c³ 和 6abc，都是可以用系数表示出来的；因此我们接下来要求的是 a²b + b²c + c²a 和 ab² + bc² + ca²。这两个式子只有一部分的对称性，但是 3 次置换群作用于它们上面，要么保持各自不变，要么把一个映成另外一个，正是 S₃ 模 C₃ 的商 C₂ 的作用的样子。我们只要知道 a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca² 和 ( a²b + b²c + c²a ) - ( ab² + bc² + ca² ) 就可以了，而前者已经是对称式，后者 ( a²b + b²c + c²a ) - ( ab² + bc² + ca² ) 的平方是完全对称的式子，可以用系数表示出来。