一，二，三，很多……

作用

设有集合 G 作用于集合 A 上。如果 G 是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群 G 作用于 A 上。如果 G 是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。对于 G 的两个元 σ、 τ，先把 σ 作用于 A 再把 τ 作用于 A，这个合成是由 στ 来对应还是由 τσ 来对应呢？我们把前者称为 G 从右边作用于 A，后者则称为 G 从左边作用于 A。左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于 A 的元 a，把先作用 σ 再作用 τ 写成 τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是 τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( a^σ ) ^τ，这看起来的样子就像是 στ 了。

如果把群 G 本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群 G 在集合 G 上的作用：对于群 G 的任意一个元 σ， σ 的作用定义为把集合 G 上的每个元都“左乘” σ。即，对于集合 G 的任意元 g， σ 的作用把 g 映到 σg。这显然是从左边的作用。这作用有时被称为“左移动”。同样的我们也可以定义“右移动”。一个左（右）移动显然是集合 G 的一个置换，并且对于不同的 σ，其所对应的置换显然是不同的。于是群 G 就可以看成是集合 G 上的置换群的一个子群。于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。

G 还可以像这样作用于 G 本身：对于群 G 的任意一个元 σ， σ 的作用把 G 的任意元 g 映到 σgσ^-1。这作用的特点是它保持 G 的群结构不变。也就是说，把 G 的任意元 g 映到 σgσ^-1 是 G 的一个自同构。这是因为对于 G 的任意两元 f、 g，我们显然有 ( σfσ^-1 )( σgσ^-1 ) = σ ( fg ) σ^-1。这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为， σ 把 G 的任意元 g 映到 σ^-1gσ。对于 G 的元 g 或 G 的子群 U，我们通常把形如 σgσ^-1 的元和形如 σUσ^-1 的子群分别称为 g 和 U 的共轭。于是 U 是正规子群的条件也可以陈述为， U 在取共轭的作用下不变。

一般的如果 X 是具有某种结构的集合，则 X 的所有自同构关于映射的合成做成一个群。这群一般写为 Aut ( X )。由于我们通常是把映射写在左边，所以默认 Aut ( X ) 是从左边作用于 X。如果 X 仅仅是一个集合，那么 Aut ( X ) 当然就是 X 上的置换群。在上一段中我们看到，取共轭的作用是 G 的自同构，因此把 G 的元 σ 映到“取关于 σ 的共轭”这也就给出了一个从 G 到 Aut ( G ) 的同态映射。这同态映射的核称为 G 的中心，记为 Z ( G )，显然 Z ( G ) 是由“与 G 中所有元都可换的元”所组成的。同态映射的像记为 In ( G )，称为 G 的内部自同构群。 In ( G ) 是 Aut ( G ) 的正规子群，因为假如有一个 Aut ( G ) 的元也就是 G 的自同构 γ，我们依次将：γ^-1、关于 G 中某个元 σ 的共轭、 γ，作用于 G 中某个元 g，得到的也仍然是 g 的共轭（这也就是说 γ In ( G ) γ^-1 ⊆ In ( G )）：

Aut ( G ) / In ( G ) 记为 Out ( G )，称为 G 的外部自同构群。

直积，半直积

设群 G 有一个正规子群 N 和一个子群 H。我们已经知道 NH = HN 是 G 的子群，现在假设 NH = G 并且 N ∩ H = { 1 }。由 NH = G 我们知道 G 中的每个元都可以表示成 nh（ n∈N， h∈H）的样子，现在我们证明当 N ∩ H = { 1 } 时这表示是唯一的：如果 n₁h₁ = n₂h₂，则 n₂^-1n₁ = h₂h₁^-1，这等式的左边是 N 的元，右边是 H 的元，所以它们都等于 1。于是 n₁ = n₂， h₁ = h₂。接下来我们考虑 G 中两个元 n₁h₁ 和 n₂h₂ 的积。把 n₂ 关于 h₁ 的共轭记为 x，我们有 ( n₁h₁ )( n₂h₂ ) = n₁ ( h₁n₂ ) h₂ = n₁ ( xh₁ ) h₂ = ( n₁x )( h₁h₂ )。 N 是正规子群，所以 x 也是 N 的元；于是取关于 h₁ 的共轭是 N 的一个自同构。换句话说就是， H 作用于 N 上，而 n₁h₁ 和 n₂h₂ 的积 ( n₁h₁ )( n₂h₂ ) = ( n₁x )( h₁h₂ ) 描述为： h₁ 和 h₂ 相乘， n₁ 和 n₂ 在 h₁ 作用后的像 x 相乘。这时如果进一步假定 H 是正规的，就有 x = n₂，这是因为

等式的左边括号中是 h₁^-1 的共轭，现在假设 H 是正规的所以这是 H 的元，于是等号左边是 H 的元；而等式的右边，括号中为 x 是 N 的元，所以等号右边是 N 的元。 N ∩ H = { 1 }，所以等号两边都等于 1，于是 x = n₂。

反过来，假设有群 N 和 H，并且规定了 H 在 N 上的作用（也可以说成是，规定了 H 到 Aut ( N ) 的一个同态映射），我们给所有形如 ( n, h )（ n∈N， h∈H）的有序对之间这样来规定乘法：规定 ( n₁, h₁ ) ∙ ( n₂, h₂ ) = ( n₁x, h₁h₂ )，其中 x 是 n₂ 在 h₁ 作用后的像。容易验证所有有序对关于这个乘法做成一个群 G，并且 G 中所有形如 ( 1, h ) 的元组成一个和 H 同构的子群，所有形如 ( n, 1 ) 的元组成一个和 N 同构的正规子群。（把这正规子群也记做N）容易看出这时 G / N 与 H 同构。我们把像这样规定的群 G 称为群 H 作用于群 N 上的半直积。如果 H 在 N 上的作用都是恒等映射，则把 G 称为 H 和 N 的直积。这时 H 和 N 的角色是对称的，因此 ( 1, h ) 们所组成的子群同样是正规的。

综合以上的讨论可知，对于群 G 和它的子群 N、 H， G 分解为 H 作用于 N 上的半直积的充分必要条件是， N 是正规的并且 NH = G， N ∩ H = { 1 }。在这时我们有 G / N 与 H 同构。半直积成为直积的充要条件是 H 也是正规子群。当 G 是加群的时候这件事变得简单了：G 分解为其子群 N 和 H 的直和（因为是加群，直积变成了直和）的充要条件是， N + H = G 并且 N ∩ H = { 0 }。

半直积的例子，比如有平面的（不包括镜像的）全等变换群，这群有“平移”和“绕原点O旋转”两个子群，显然它们的交只有恒等变换，而它们的积是全体（平面的不包括镜像的全等变换总可以描述为“先旋转一个角度，再平移至适当位置”），并且平移群是正规的。（注意旋转群不是正规的。）旋转群在平移群上的作用描述为，如果有一个方向a、距离b的平移和一个x度的旋转，则这旋转作用于这平移后得到的像，是一个把方向a转过了x度而距离仍然保持b不变的平移。

我愿意趁此机会再举一个例子，那就是魔方。而且贴张照片在下面。我很爱拧魔方，即使你没有玩过，至少也该看见过。这显然是一个群，因为我们只要考虑各个面块的位置，魔方的各个状态都可以理解为这六九五十四个面块的置换。（什么？你说每面的中心那块总是不动的？OK，那就六八四十八。）但这只是初学者的浮面的理解。我们现在就用直积的语言来更细致地描述这魔方群 G 的结构。

如果你碰过魔方或者稍具慧眼，一定会看出魔方的基本结构并不是面块，而是位于八个角上的“角块”和十二条棱上的“边块”。会玩魔方的人都知道，如果把魔方拆开（拆成这八个角块和十二个棱块的一堆零碎）再随便装回去，只有十二分之一的概率可以复原。但是这里我们先不考虑拧魔方的具体规则，而假设这些角块和边块是可以随便拆下和装上的，这样一个假想的魔方显然仍然是一个群，而真正的魔方群 G 是这个群的一个子群。我们先来讨论这稍大一些的群 H 的结构。

每个角块固定在其还原位置上可以有三种状态（即这角块上的三个面块的不同配置，在这里我们将其称为角块的旋转），这是一个 3 阶循环群。同样边块的旋转是一个 2 阶循环群。各角块和边块的旋转显然是互不相关的（因为我们现在讨论的是每个角块和边块都可以随便拆下和装上的情形），这意味着 H 有一个由八个 3 阶循环群和十二个 2 阶循环群的直积所构成的子群。把这子群记为 N。而假如我们忽略角块和边块的旋转只注意它们的位置，这显然是一个 8 个元的置换群和一个 12 个元的置换群的直积。所谓“忽略掉……”，用数学的语言来说我们实际上是在考虑 N 的旁系。这旁系做成一个群，所以特别的我们得到 N 是 H 的正规子群。

接下来我们在每个角块的三个面块中选出一个作为“标准面块”，同时在正方体的每个角的三个位置（即与这角邻接的三个面）中选出一个作为“标准位置”，这选择要使得魔方在还原状态的时候标准面块都在标准位置上。同样地定义边块的标准面块和边的标准位置。考虑角块和边块的所有满足条件“标准面块在标准位置上”的配置，这显然是 H 的一个子群，并且这子群正是由一个 8 个元的置换群和一个 12 个元的置换群的直积所构成的。把这子群记为 S，不难确认 S ∩ N = { 1 } 和 SN = H，因此 H 分解为 S 作用于 N 上的半直积。 S 在 N 上的作用是这样子的： S 的元 ( σ, τ )（ σ 是一个 8 个元的置换， τ 是一个 12 个元的置换）作用于 N 的元 ( a₁, a₂, …, a₈; b₁, b₂, …, b₁₂ )（各 a_i 是 3 阶循环群的元，而各 b_j 是 2 阶循环群的元）后得到的像是 ( a_{σ ( 1 )}, a_{σ ( 2 )}, …, a_{σ ( 8 )}; b_{τ ( 1 )}, b_{τ ( 2 )}, …, b_{τ ( 12 )})。这样 H 的结构就被完全记述出来了。

那么 G 是 H 中怎样的子群呢？我们考察拧魔方所允许的操作（即把某个面转动90度），就会发现这些操作总是保持三个量不变。即对于任何一个这样的操作，如果把它所对应的 H 中的元写为 ( ( a₁, a₂, …, a₈; b₁, b₂, …, b₁₂ ), ( σ, τ ) )，则总是有 ∏ a_i = 1、 ∏ b_j = 1 和 sign ( σ ) sign ( τ ) = 1（ sign 表示置换的符号。把这符号看成是 2 阶循环群的元。于是这式子的意思是 σ 和 τ 的符号总是相同的）。反之，从任何一种魔方还原法中都可以看出， H 中满足这三个条件的元总是可以通过若干次允许的操作实现的。因此， G 就是由 H 中所有满足条件 ∏ a_i = 1、 ∏ b_j = 1 和 sign ( σ ) sign ( τ ) = 1 的元 ( ( a₁, a₂, …, a₈; b₁, b₂, …, b₁₂ ), ( σ, τ ) ) 所组成的子群。由于这条件是关于 N 和 S 分别给出的，所以 G 也分解为 G ∩ S 作用于 G ∩ N 上的半直积。并且 G 还是 H 的正规子群，因为它是把 H 映到 C₃ × C₂ × C₂（把元 ( ( a₁, a₂, …, a₈; b₁, b₂, …, b₁₂ ), ( σ, τ ) ) 映到元 ( ∏ a_i, ∏ b_j, sign ( σ ) sign ( τ ) )）的同态映射的核。这同态映射显然是全射，而 C₃ × C₂ × C₂ 正好有 12 个元，这就解释了为什么把魔方拆开再随便装回去（即随便取出群 H 的一元），其复原（这元正好属于 G ）的概率是十二分之一。

（注意：以上的讨论是为了得到对于魔方群 G 的深入一些的理解，其本身并不包含任何魔方还原法。就像纽结理论研究扭结的不变量，其本身也并不包含任何解开扭结的方法一样。如果你是为了寻找一种魔方还原法而来到这里，那么很抱歉，你来错了地方）

群

群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元 a、 b 关于这乘法进行演算的结果，通常写为 a ∙ b 或者就简略记为 ab。乘法被要求满足下面三个条件：

1. 结合律。 a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
2. 存在单位元 e，对任意元 a 都有 e ∙ a = a ∙ e = a
3. 对任意元 a，都存在 a 的逆元 a^-1，满足 a ∙ a^-1 = a^-1 ∙ a = e

如果这乘法还满足交换律 a ∙ b = b ∙ a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为 0。单位元是唯一的，这是因为如果 d 和 e 都是单位元，则根据定义我们有 d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果 b 和 c 都是 a 的逆元，则 b = bac = c。显然 ( a^-1 ) ^-1 = a。

在一个集合 A 上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合 A 加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群 G 到群 H 的映射 f 被称为同态映射，如果 f 满足条件：对于 G 中任意两个元 σ、 τ，总有 f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成 f 是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。

群的例子有比如说映一个集合 A 到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。这样的群称为置换群。一般来说，一个“对称”就对应了一个群。所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。

群也出现在各种基本的代数对象中。所有整数关于加法做成可换群。所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。所有 n 阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当 n ≥ 2 时这群是不可交换的。

置换群的元如前所述是映集合 A 到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合 A 上的一个 置换。一般来说，如果一个集合 Γ 的每个元都对应了映集合 A 到其自身的一个映射，我们就说 Γ 作用在 A 上。而 Γ 的某个元 γ 所对应的这个映射，就被称为 γ 在 A 上的作用。在很多时候， Γ 是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时 A 具有某种结构， Γ 的每个元在 A 上的作用都保持这结构不变。由于群的每个元都有逆元，这时 Γ 的每个元都是同构。这样的 Γ 有时被称为 A 的自同构群。

同样对于某个群 G 来说，如果有一个集合 Γ 的每个元都对应了映 G 到其自身的一个同态映射，我们就说 Γ 作用于 G 上，或说 G 是“Γ 上的群”，简称为“Γ-群”。这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。 Γ-群 G 到 Γ-群 H 的 Γ-同态映射定义为与 Γ 的作用可换的同态映射 f，即 f 是从 G 到 H 的同态映射，并且满足：对于 Γ 中任意一元 γ 和 G 中任意一元 σ，总有 f ( γσ ) = γ f ( σ )。

一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。

子群，正规子群，商群

定义。对于一个 Γ-群 G，其子群定义为满足下列条件的 G 的子集 H：

1. H 中任意两元的积仍然属于 H
2. H 中的元的逆元属于 H
3. 对于 Γ 中任意一元 γ 和 H 中任意一元 h， γh 属于 H

注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于 H。

设一个 Γ-群 G 有子群 H，则对于 G 的任意两元 σ、 τ， G 的子集 σH 和 τH（ σH 定义为形如 σh ( h∈H ) 的元所组成的集。 τH 也是一样）要么不交，要么相等。这是因为如果 σH 和 τH 相交，即存在 h₁、 h₂ ∈H 满足 σh₁ = τh₂，则对于 H中任意一元 h，都有 σh = τh₂h₁^-1h，而根据子群的定义 h₂h₁^-1h 是 H 的元。这说明 σH ⊆ τH，而显然根据对称性反方向 σH ⊇ τH 也是成立的，于是 σH = τH。

形如 σH 的 G 的子集称为 H 的（左）旁系。由上可知左旁系将 G 分成几个互不相交的部分。对于右旁系也是一样。左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群 H 称为 G 的正规子群。更具体的说，正规子群是指 G 中满足这样条件的子群 H：对于 G 中任意一元 σ 都有 σH = Hσ。如果 G 是可换的，当然 G 的任意子群都是正规的。

设一个 Γ-群 G 有正规子群 H，则 H 的所有旁系做成的集合自然地具有 Γ-群的结构。换句话说，在 G 上规定这样一个等价关系 ~： σ ~ τ 当且仅当 σH = τH。关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有 Γ-群的结构。如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。现在在 G 中已经定义了乘法和 Γ 的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。为了看出这一点，把形如 ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ ⊆ σHτ = στH，即不管我们从 σ 和 τ 的等价类中选择了哪两个元，它们的积最后都是属于 στ 的等价类的，于是我们看到积是well-defined的。同样，对于 Γ 中任意一元 γ，因为 γ 是群的同态映射，所以 γ ( σH ) = ( γσ )( γH )，而由子群的条件 3 我们有 γH ⊆ H，所以 γ ( σH ) ⊆ ( γσ ) H，于是 γ 的作用也是well-defined的。这样在 G 的商集合上乘法和 Γ 的作用都定义好了，由于这是由原来的群 G 上的乘法和作用诱导出来的，显然它们确实满足乘法和作用所应该满足的条件（结合律什么的），因此这确实做成了一个 Γ-群。这群称为 G 的商群，记为 G / H。

同构定理

定义。设有 Γ-群 G、 H 以及 Γ-同态映射 f: G → H，我们把 f ( G ) 称为 f 的像，记为 Im f。把 f^-1 ( e )（ e 是 H 的单位元）称为 f 的核，记为 Ker f。

定理。 Im f 是 H 的子群， Ker f 是 G 的正规子群。

证明。由 Γ-同态映射的定义，这基本上是显然的。 Ker f 是正规的，因为对于 G 的任意一元 σ，有 σ ( Ker f ) = f^-1 ( f ( σ ) ) = ( Ker f ) σ。（证毕）

设一个 Γ-群 G 有正规子群 H，则从 G 到 G / H 的标准映射（把 G 的元 σ 映到 σ 的旁系）显然是一个全射并且是 Γ-同态，而它的核显然是 H。这件事的反之也是成立的，这就是第一同构定理。（总共有三个同构定理，它们是如此的显然以至于我几乎都不知道该如何写证明。请你也把它们如同常识一样融入自己的血液里）

定理。（第一同构定理）设有 Γ-群 G、 H 以及全射 Γ-同态映射 f: G → H。把 Ker f 记为 U，则 f 自然诱导出从 G / U 到 H 的同构。更一般的，“G 中包含 U 的子群” M 与“H 的子群” N 之间存在一一对应，这对应由 M |→ f ( M ) 和 N |→ f^-1 ( N ) 给出。如果 G 中某个包含 U 的子群 P 像这样对应于 H 的一个子群 Q，则 f 自然诱导出从 P / U 到 Q 的同构。

证明。对于 G 的任意一元 σ，其关于 U 的旁系正是 G 中其像与 σ 相同的所有那些元的的集合。因此 f 自然诱导出从 G / U 到 H 的全单射。接下来只要确认在 G / U 中定义的乘法和 Γ 的作用是与 H 中的一致的，这由 f 是 Γ-同态立得。后半部分子群的一一对应，只要注意对于 G 中任意一个包含 U 的子群 M，如果 x∈M，就一定有 xU ⊆ M。因此 M 一定是由若干个 U 的旁系拼成的。（证毕）

定理。（第二同构定理）设有 Γ-群 G 和 G 的正规子群 U。则对于 G 的任意子群 M， MU = UM（ MU定义为形如 ab ( a∈M, b∈U ) 的所有元组成的集合， UM 也是一样）是 G 的子群， M ∩ U 是 M 的正规子群，并且 MU / U 与 M / ( M ∩ U ) 同构。进一步，如果 M 也是正规的，则 MU 和 M ∩ U 都是 G 的正规子群。

证明。因为 U 是正规的，MU = UM 是显然的。不难确认 MU 关于乘法、取逆元、Γ 的作用都是封闭的，于是 MU 是子群。对于 M 的元 m，显然 m ( M ∩ U ) = ( mM ) ∩ ( mU ) = M ∩ ( Um ) = ( M ∩ U ) m，所以 M ∩ U 是 M 的正规子群。如果 M 是正规的，则对于 G 的任意元 σ 都有 σ ( MU ) = ( σM ) U = MσU = ( MU ) σ 和 σ ( M ∩ U ) = ( σM ) ∩ ( σU ) = ( Mσ ) ∩ ( Uσ ) = ( M ∩ U ) σ，于是 MU 和 M ∩ U 都是 G 的正规子群。剩下我们要证明 MU / U 与 M / ( M ∩ U ) 同构，为了看到这一点我们考虑标准映射 f: G → G / U，容易知道 f^-1 ( f ( M ) ) = MU，于是由第一同构定理我们知道 MU / U 与 f ( M ) 同构。另一方面如果把 f 限制在 M 上，考虑全射 f |_M: M → f ( M )，显然 f |_M 的核是 M ∩ U，于是再次根据第一同构定理，我们有 M / ( M ∩ U ) 与 f ( M ) 同构。（证毕）

定理。（第三同构定理）设有 Γ-群 G 和 G 的正规子群 U，并设 M 是 G 的包含 U 的子群。则 M / U 是 G / U 的正规子群当且仅当 M 是 G 的正规子群，进一步当这条件成立时我们有 G / M 与 ( G / U ) / ( M / U ) 同构。

证明。考虑商群的定义，这基本上是显然的。（证毕）

Jordan-Hölder定理和极大极小条件

同构定理的一个几乎是立即的应用体现在Jordan-Hölder定理中。为了说明这个定理我们需要先做一些定义。

定义。我们说一个 Γ-群 G 是单纯的，如果 G 的正规子群只有 { 1 } 和 G 全体。

由第一同构定理，我们知道一个单纯群 G 的同态像要么是单位元，要么就与 G 同构。

定义。Γ-群 G 的一个递降子群链 G = G₀ ⊃ G₁ ⊃ … ⊃ G_{n - 1} ⊃ G_n = { 1 } 如果满足条件：对于任意的 i， G_{i + 1} 是 G_i 的正规子群，并且 G_i / G_{i + 1} 是单纯的。就把这递降子群链称为 G 的组成链。各个 G_i / G_{i + 1}称为 G 的组成因子，n 称为组成链的长度，简称为 G 的长度。

设 Γ-群 G 有组成链 G = G₀ ⊃ G₁ ⊃ … ⊃ G_{n - 1} ⊃ G_n = { 1 }，其组成因子依次为 H₁、 H₂、…、 H_n。这时对于 G 的任意正规子群 N，我们把 N ∩ G_i 记为 P_i，把 G_i 在 G / N 中的像记为 Q_i。

命题。在上述假定下， N = P₀ ⊇ P₁ ⊇ … ⊇ P_{n - 1} ⊇ P_n = { 1 } 和 G / N = Q₀ ⊇ Q₁ ⊇ … ⊇ Q_{n - 1} ⊇ Q_n = { 1 } 分别是 N 和 G / N 的（可能重复的）组成链，并且 H₁、 H₂、…、 H_n 正好被分配到这两条组成链中。也就是说，对于任意的 i，要么 P_i / P_{i + 1} 与 H_{i + 1} 同构而且 Q_i = Q_{i + 1}，要么 Q_i / Q_{i + 1} 与 H_{i + 1} 同构而且 P_i = P_{i + 1}。

证明。首先我们证明，对于任意的 i， P_{i + 1} 是 P_i 的正规子群，Q_{i + 1} 也是 Q_i 的正规子群：P_i = N ∩ G_i 是 G_i 的子群，而 G_{i + 1} 是 G_i 的正规子群，所以 P_{i + 1} = P_i ∩ G_{i + 1} 是 P_i 的正规子群； Q_i 可以看成是 G_i / ( N ∩ G_i )，而 G_{i + 1} 是 G_i 的正规子群，所以 ( N ∩ G_i ) G_{i + 1} 也是 G_i 的正规子群，于是 Q_{i + 1} = ( ( N ∩ G_i ) G_{i + 1} ) / ( N ∩ G_i ) 就是 G_i / ( N ∩ G_i ) 的正规子群。接下来我们有：

由于 G_i / G_{i + 1} = H_{i + 1} 是单纯的，而 ( N ∩ G_i ) G_{i + 1} 是 G_i 的正规子群，所以要么 ( N ∩ G_i ) G_{i + 1} = G_i，要么 ( N ∩ G_i ) G_{i + 1} = G_{i + 1}。（证毕）

定理。（Jordan-Hölder） G 的组成链如果存在，则其长度是一定的，而且组成因子（不记顺序但包括重复度）是唯一的。

证明。关于组成链的长度使用归纳法。如果 G 有一个长度为 1 的组成链，则 G 是单纯的，命题显然成立。现在假设 G 有一个长度为 n 的组成链 G = G₀ ⊃ G₁ ⊃ … ⊃ G_{n - 1} ⊃ G_n = { 1 }，要证明的是这时对于 G 的任意组成链 G = F₀ ⊃ F₁ ⊃ … ⊃ F_{m - 1} ⊃ F_m = { 1 }，都有 m = n 并且组成因子相同。由上面的命题， F₁ 具有长度为 n - 1 的组成链（考虑 F₁ 与各 G_i 的交），于是可以使用归纳法的假定。（证毕）

注意这里组成因子虽然是唯一的，但一般来说组成链绝不是唯一的。比如 6 阶循环群 C₆，显然 C₆ ⊃ C₃ ⊃ { 1 } 和 C₆ ⊃ C₂ ⊃ { 1 } 都是它的组成链。

接下来我们讨论 G 的组成链存在的条件。

定理。如果 G 是有限的，则存在组成链。

证明。取 G 的所有正规真子群的（关于包含关系的）极大元 G₁（由于 G 是有限的，这总是可以取到的），然后取 G₁ 的所有正规真子群的极大元 G₂， G₂ 的所有正规真子群的极大元 G₃，……这样一直取下去，仍然由于 G 是有限的，所以一定会在有限回的操作后到达 { 1 }。这样取出来的递降子群链显然是组成链。（证毕）

从这证明中容易看出，组成链存在的关键在于“取XXX的极大元”和“这样一直取下去，一定会在有限回操作后到达 { 1 }”这两件事。当 G 为可换群时，这两件事陈述为极大和极小条件。

命题。对于 Γ-加群 M，以下两个条件是等价的：

1. 不存在 M 的子群的无穷的严格递增链。
2. M 的随便一些子群所组成的集合总有（关于包含关系的）极大元。

证明。首先如果存在 M 的子群的无穷的严格递增链，则出现在这递增链中的所有子群构成的集合显然没有极大元。反过来，如果存在一个由 M 中某些子群构成的集合没有极大元，则在这集合中取一元 M₀，由于 M₀ 不是极大，就又有严格包含它的 M₁，而且 M₁ 也不是极大，于是又有严格包含 M₁ 的 M₂，像这样一直取下去（选择公理！参看前文《再说一点集合论》），就得到了一个 M 的子群的无穷的严格递增链。（证毕）

定义。我们把上面命题中等价的两个条件称为极大条件。同样地也定义极小条件。满足极大条件的加群称为Nöther加群，满足极小条件的加群称为Artin加群。

定理。 Γ-加群 M 具有组成链，当且仅当 M 满足极大和极小条件。

证明。如果 M 满足极大和极小条件，则 M 具有组成链，这和有限群的情况完全类似。反过来的主张是下面这个命题的显然的归结：

命题。设有 Γ-加群 M 和 M 的子群 N。则 M 满足极大（小）条件当且仅当 N 和 M / N 满足极大（小）条件。

证明。由于 N 的子群也是 M 的子群，并且 M / N 的子群和 M 中包含 N 的子群一一对应，所以如果 M 满足极大（小）条件，显然 N 和 G / N 也满足极大（小）条件。反过来，对于 M 中的递增（降）子群链，这子群链与 N 的交以及在 M / N 中的像显然分别是 N 与 M / N 中的子群链。如果 N 与 M / N 满足极大（小）条件，这 N 与 M / N 中的子群链总会停止。于是我们只要证明下列命题即可：
“对于 M 的子群 M₁ ⊇ M₂，如果 M₁ ∩ N = M₂ ∩ N 并且 M₁ + N = M₂ + N，则 M₁ = M₂”
这命题成立是因为：
（证毕）

满足极大和极小条件的加群的例子，比如说体上的有限维向量空间。容易证明体上的一维向量空间（作为体上的加群来说）是单纯的，因此对于体上的有限维向量空间，考虑其每次递减一维的子空间链，这显然构成一个组成链。而Jordan-Hölder定理说，组成因子是唯一的，于是就特别地得到，体上的有限维向量空间的维数是确定的。我们甚至没有使用解多元一次方程组的消元法之类，而完全用抽象的一般论就得到了这个结果。更一般的说，Artin环（体也是Artin环的特例）上的有限生成加群总是满足极大和极小条件的，这是因为我们有“Artin环一定是Nöther环”这一显著的结果。

最后给出极大条件的另一个等价的说法。

定义。对于 Γ-群 G 和 G 的任意子集 S，考虑所有包含 S 的 G 的子群们的交，这显然也是 G 的子群，并且是包含 S 的最小的子群。把这子群称为 S 生成的群，写为 <S>。 S 则称做 <S> 的生成系。显然 <S> 是由 S 中的元经过有限次的相乘、取逆和 Γ 的作用后所能够得到的所有元组成的。当 G 具有有限的生成系时，就称 G 是有限生成的。特别的，由一个元生成的群称为循环群。

定理。 Γ-加群 M 是Nöther加群（即满足极大条件），当且仅当 M 的任意子群都是有限生成的。

证明。假设 M 满足极大条件。这时对于 M 的任意子群 N，从 N 中取一个元 n₁，由 n₁生成的子群如果正好等于 N，则 N 当然是有限生成的。如果不是，就再从 N ∖ <{ n₁ }> 中取一个元 n₂。依此类推。由于 M 是满足极大条件的，所以一定会在有限次的操作后生成 N。反之，假设 M 的任意子群都是有限生成的。这时如果有 M 的递增子群链 M₁ ⊆ M₂ ⊆ …，考虑所有 M_i 的合并 ∪ M_i，这显然也是 M 的子群，因此是有限生成的。生成元当然属于 ∪ M_i，而现在它们只有有限个，于是我们可以取充分大的 k 使得 M_k 包含这有限个生成元。另一方面这些生成元生成的子群 ∪ M_i 是所有包含这些生成元的子群中最小的，所以显然子群链中 M_k 之后的部分都不会再严格增大了。（证毕）