一，二，三，很多……

集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。比如说一个自然数 3 ，或者一个字母 x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。于是就有了空集合（空集公理）。我们把空集合定义为 0。把集合 { 0 } 定义为 1。把 { 0, 1 } 定义为 2。把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。依此类推。上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。）

不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。我不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。

集合的定义方法。

• { a, b, c }      列举。a、b、c 组成的集合。
• { x∈A | 命题 }      集合 A 中满足命题的所有元组成的子集。注意这里有 x∈A（ x 属于 A ）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。
• ℘ ( A )      幂集合。集合 A 的所有子集组成的集合。
• A ∐ B      非交和。把集合 A 的元和集合 B 的元合在一起看成是一个集合。A 的元与 B 的元总看成是不同的。
• A × B      笛卡儿积。集合 A 的元 a 与集合 B 的元 b 构成的顺序对 ( a, b ) 全体组成的集合。
• ∏ A_λ ( λ∈Λ )      给集合 Λ 中的每一个元 λ 对应集合 A_λ 中的一个元，所有这样的对应全体组成的集合。如果 Λ = { 1, 2 }，这就是 A₁ 与 A₂ 的笛卡儿积。因此这可以看成是笛卡儿积的推广版。
• ∐ A_λ ( λ∈Λ )      非交和的推广版。由集合 Λ 中的一个元 λ 和集合 A_λ 中的一个元 a_λ 组成的有序对 ( λ, a_λ ) 全体所组成的集合。如果 Λ = { 1, 2 }，这就是 A₁ 与 A₂ 的非交和。
• A ∪ B      集合 A 与集合 B 的合并。
• A ∩ B      集合 A 与集合 B 的交集。
• A ∖ B      集合 A 中不属于集合 B 的元全体组成的子集。

记号。

• ∅      空集合。
• x∈A      x 属于集合 A 。通常集合的元用小写字母 a, b, … ，集合用大写字母 A, B, … ，集合的集合用大写花体字母 A, B, … 来表示。
• ⊂, ⊃      集合的包含关系。不包括相等。
• ⊆, ⊇      集合的包含关系。包括相等。
• A := B      这是“把 A 定义为 B ”的意思。
• ∀x∈A 命题      这是“集合 A 中任意一个元 x 都满足命题”的意思。记号 ∀ 是把“All”的首字母倒过来写。
• ∃x∈A s.t. 命题      这是“集合 A 中存在一个元 x 满足命题”的意思。记号∃是把“Exist”的首字母倒过来写。s.t. 是 such that 的缩略。（读做“there exists an x in A such that …”）

从前往后写，从后往前看。

这基本上是我的学习笔记。我的打算是从头开始慢慢写，（就像Bourbaki^注的前言所说）不假定任何预备知识，只需要稍有一些逻辑推理能力就可以看懂的东西。和Bourbaki不同的是，我想我会尽我所能的使用感性的语言。真的我时常会觉得有些失落。数学实在是太不普及了。虽然这是一门从小学起就开始教的课程。每当我张口想说群、环、体的时候都会记起，这居然是只有数学专业才教的词汇。（为什么不把它写进初中教科书呢！？）我不知道有多少人因为迷失在这些陌生的单词里而对数学退避三舍。很多介绍数学知识的文章都尽量避免使用专业词汇，这当然是一种普及的方式。但我想我既然开始了这样一个blog，那就有充分的空间来做准备，让那些抽象名词变得容易亲近起来。也许和许多人的理解相反，我们之所以使用那些奇异的词汇和陌生的语法，是因为这样才比较容易理解。数学家和律师是不同的。数学的目的是建立一种描述这个世界的精确、理性而且容易理解的语言，把人类创造性的灵感最为显著的表达出来。如果你是诗人、小说家或者恋爱中的少年，一定会切身的体会到，我们平常使用的语言是多么的贫乏、无力、暧昧甚至滑稽可笑。真的，不仅在感性方面是如此，理性方面也是一样。或者说更甚。但是和广大的令人尊敬的艺术家们所面临的状况不同，我们在理性的表达方面已经拥有了近乎完美的解决方案，那就是数学的语言。从这方面来说，考虑到文学、音乐、美术等等作为一个人的教养的重要性，数学的普及程度和它所取得的成就相比，实在是大大的落后了。

我写这个的目的是想从头开始回忆整理一遍我所学到的，然后把那些首先从记忆里跳出来的东西写出来。我想正是这里面包含了（我所理解的）数学的精髓。还有一个目的也许是更重要的，那就是我把它们写出来，然后会切身体会到我所知道的是多么的少。

从博客的性质上来讲，如果我从头开始写然后按顺序贴上来，那么首先看到的必然是最后一页。我想我会尽可能地让人即使从最后一页开始读，也能迅速地明白我到底在说什么。但愿如此。

注：Bourbaki据说是普法战争中一个法国将军的名字。做为名词它指当年一群法国数学家的秘密结社，或者他们所编的厚厚一叠味同嚼蜡的教科书。有时它作为形容词来形容高度抽象、没有人情味、精确但冗长难懂的书写数学记号的方式。