黄小宁

（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

数列A：0.1，0.01，0.00 1，…，1／10n（n是指数，以下同），…（n项必 十倍于n＋1项）

数列B：10,100,1000,…, 10n,…(充分后的项都>“任意给定”的正数ε)

数列C：0.9，0.99，0.999，…，1－1／10n，…（n项必 < n＋1项）

数列A的各项均为正数且第n项是n位小数，各项都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是各项均为具体、确定的数的无穷数列，故其中必有无穷多各大小不同的形如（变量1／10n =y→0表示其从某时刻起以后所取各正数y均＜“任意给定”的正数ε）

0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0，如1与2之间的实数多得写不完一样。）

的无穷多个小数位的用而不知的无穷小正数（其倒数100…00是无穷多个1的和：用而不知的无穷大自然数或超自然数）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、何为极限论（极限论断定“无穷小数列”A中从某项起以后各项均是＜ε的正数。然而极限论又断定“定量中只有0才是无穷小”，这暗含此意：任何正数都不能 <ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数，有的书本直接断定：没有0的！

y→b是说y与b趋于重合相等。实变数y只能与实数而不能与非实数的猫狗趋于重合相等，同样，各项都是固定数的固定数列C本身不是变数，与1没有距离关系如何能与非数列的1趋于重合相等？

形成鲜明对比的是各项都是变数的随x的不同而不同的函数列

{n+（1/nx）}→不变化的{n}（x→∞时）。

“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[1]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。数学5千年来一直不识用而不知的无穷大自然数等使极限论是自相矛盾的学说。

参考文献

[1]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。

[2]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[3]黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误，教育前沿[J]，2007（12）：110。

尊敬的黄小宁先生：
阅读了您的文章，虽然很失遗憾，但依然敬佩您探求真理，敢于创新的勇气。只是如果这种勇气能够加上更多的审慎和理智，则更加宝贵。
我阅读了您的其中一些文章，并对其中几篇进行了精读。里面的错误类似，都是由于缺乏牛顿、莱布尼茨微积分理论中的极限思想导致的。由于时间有限，我只针对其中一篇指出错误。在《起码数学常识凸显中学数学有五千年重大错误》一文中，您自称用39字推翻了康托的百年集论，并证明了最大自然数的存在性。
在推翻百年集论的论证中，您先举了一个有限集的例子，然后再想将其推广到自然数集。事实上，这种推广是不严密的。在做出这种推广之前，您首先要回答一个问题：自然数集是一个有限集还是无限集。
如果自然数集是有限集，则这种推广可行，只是在论证时还必须用更严格的数学语言，而不是像您这样文学语言。但这就带来了一个问题。因为您后面用推翻百年集论后得出的h定理（黄小宁定理），来论证最大自然数的存在性，这就犯了一个循环论证的错误。因为其实您在证明这个命题之前已经默认它正确了。如果自然数集是有限集，其中每一个元素各不相同，且能比较大小，则肯定有最大的一个元素。
如果自然数集是无限集，则您的这种推广不可行。由于无限集的特殊性，有限集的一些结论不能在其上套用。对于集合P={1，2，3，…}和Q={0，1，2，…}，我们可以像您那样作P到Q的映射1->1，2->2，…，n->n，…，这样，P到Q的映射就不是一个双射，因为像集中还有一个0，但我们也可以作映射1->0，2->1，…，n->n-1，…，这是一个双射。所以自然数集和其无限子集是对等的。同时如果自然数集是无限集，则最大自然必然不存在。
所以，不管您事先回答自然数集是有限集还是无限集，您的证明都是错误的。但是您必须回答这个问题，因为这是一个二元问题，一个集合要么是有限集，要么是无限集，不会出现第三种情况。
那么，自然数集到底是有限集还是无限集呢？事实上，自然界存在着这么无穷的多个数1、2、3、……，我们的先人将之命名为自然数（后来，到我上中学时，据说有一位领导说为了要和国际接轨，把0也归入自然数集，而事实上，当时只有法国和曾经被法国殖民的一些非洲国家把0当作自然数，这是题外话）。我们当然也可以命名一些数，叫黄小宁数，这些数组成一个有限集，然后我们研究这些数的运算法则。然而这个工作已经被18世纪法国的天才数学家伽罗华做了。其中对于集合{0，1}，如果我们规定算法则0+0=0， 0+1=1，1+0=1，1+1=1，0×0=0，0×1=1，1×0=0，1×1=1，则可以得到一个加法和乘法封闭的集合，这个集合在计算机、通信等领域有广泛的运用。有关伽罗华群论的更多知识可以阅读《近世代数》方面的书籍。
至此，我已将您在这篇文章中的错误阐述得很清晰。但是，您的错误是值得我们思考的。其实，一开始我就在网易社区的论坛里发现您的文章有问题。但是，一是由于时间有限，第二也是水平有限，因为我毕竟不是数学专业的，不能一下子看出问题的关键所在。所以我抱着审慎的态度，在寒假里，仔细阅读您的文章。之所以如此审慎，是因为我知道，在历史上，人类追求真理的过程是坎坷。最为经典的两个例子是非欧几何（黎曼几何、罗巴切夫斯基几何）与狭义相对论。这两个理论在诞生时没有得到人们的承认，原因是其与人们的常理看似相悖。但是，最终，真金不怕火炼，这两个理论得到了世人的承认，并对人类社会产生了巨大的影响。值得我们注意的是，这两个理论并没有否认其先前的理论。其中，非欧几何和欧几里得几何，是从不同的逻辑起点推出各自完整严密的逻辑体系；而狭义相对论则把牛顿的经典力学涵盖了进去，将之作为其理论的一种特殊情况。而事实上，欧几里德几何和牛顿经典力学，在日常生活中是经过严格检验的，并解释了很多现象，解决了一系列问题。我之所以要强调这一点，是想假设这样一种，如果黄小宁先生所推出h定理等理论真的是正确的，那么是否要宣称其先前的理论是重大错误呢？特别是，与黄先生相对的理论从本质上来说是牛顿和莱布尼茨的微积分，如果微积分是错误，那么由微积分所推演出的物理学、计算机理论、通信理论、微观经济学等一系列理论是否都是错误的呢？那么，人类近五百年是否一直生活在谬误中？那么小到生活中使用的收音机、电视机、手机、互联网，大到宇宙飞船、人造卫星、核电站，这些东西都是否从谬误中诞生？
我不知道这些问题，黄先生是否想过。其实这只是一个在探求真理的人的最基本科学素养。追求真理是一件神圣的、高尚的事情。也正因为如此，我们必须格外的审慎，否则，我们会走到真理的另一端——谬误。
另外还要给黄先生一个建议。从您写文章的格式来看，有摘要、关键字、正文、参考文献（虽然所参考的都是您本人的文章），完全符合一篇学术论文的格式。但是，在行文中，您的语言更像是在写时评，缺少数学论文应有的简洁美。太多的同义反复实际上降低了文章的可读性，从某种意义上说是对读者的一种不负责。而一些模糊的类比更不应该出现在数学这样严谨领域（当然如果写给不懂数学的人作为科普读物可以这样写，但是，我想您的目的应该不是这样，而是写给数学专家看，从而获得业界的认可）。因此，我的建议是希望黄先生以后再阅读数学书籍时在获取知识的同时参照他人的写作方法。
末了，我想说的是，追求真理是快乐的，承认错误是痛苦的，但只有承认错误后，才能更好地追求真理。否则会堕入谬误的深渊。创新是需要的，但我们必须站在巨人的肩膀上，只有这样我们才能站得更高。否定是需要，但必须经过科学审慎的思考，严密的推理，必须怀着对前人理论体系的敬畏态度。 陈琦
2008-2-16于思源湖畔本人系上海交通大学通信与信息系统专业硕士研究生

——中学数学重大错误：将一部分误为全部

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631

[摘要]　使康脱脱离健康误入歧途的重大中学数学错误：将一部分误为全部，导致人类认识与研究正整数五千多年来，先一直不知SH定理“正整数集N内奇、偶数各占一半”，近百年来又举世欢呼“伟大发现”：N内有多少个元n相应就有多少个数２n、多少个２n－１、…且各数都∈N。本文据康脱比较两数集各含数多少的对应原理仅用50个字符就证明了SH定理，推翻百年集论。

[关键词]　中学数学重大错误；推翻自然数公理和百年集论；有首、末项的无穷数列；有穷与无穷的对立统一； N内暗含有无穷大自然数n>M

一、会背书得高分者不一定真懂集合论

无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元x配对，就表明A比B多含了一个元，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”就表明A比B多出无穷多个元。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元而不可～B。康脱就断定无理数比自然数多；…。

两集不对等就更谈不上相等；不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个数a。

不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。

二、推翻百年集论的真扩集定理

真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。

证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。

关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。

三、50字符证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大区别使N所有元2倍于所有偶数元

奇数集A：1，3，5，…，2n-1，…

偶数集B：2，4，6，…，2n，…

B～C：1，2，3，…，n，…

数学的正整数集N=A∪B是A也是B的真扩集。真扩集定理断定N至少比A～B多一个元从而推翻百年集论。

上面3数列显示C的各元n都有两对应数n、2n-1且所有对应数组成的集是N，表明N所含元2倍于C所含元——50个字符充分证明了推翻百年集论的：

SH定理：N的元素2倍于C的元素使C～B与B～A一样是N的真子集;因B～A故N内奇、偶数各占一半。

形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。

N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝

　　　C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝～B

看！稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的事实：在N中与C中｛｝对应的A包含多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元。

故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。

所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

四、证明无穷集C有最大元素

数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。

“无穷集D=（1，2）的任何元xD的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，①“C的任何元nC的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n（C的所有数都由此n代表）。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。

关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。

无穷集B =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为B的x在由大到小取值的过程中必有最后一次的取值：取至a后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

关键：对人而言B内数多得取之不尽，人不能遍取B内一切数，但变域为B的变量却能取尽B内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。

正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。

不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。

五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数

在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。

“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…

“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是说其‘从某时刻起以后所取各自然数n都>M。’这间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”

“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。”

六、推翻自然数公理：N的任何元nn（N的所有数都由此n代表）即：N的任何元nN的所有数n。初3问题：

在N内取值的y=2n>n= 1，2，3，…

中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。中学数学断定y=2n 的定义域＝N是使康脱误入歧途的重大错误。

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。

详论见获中国教育学会一等奖的文献［3］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！

周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）

参 考 文 献

[１]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:４６.

[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。

[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.

[4]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.

[5]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

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