我们说 p 是素元，如果对于任意的 a、b， p 整除 ab ⇒ p 整除 a 或 b。这等价于说 ( p ) 是素理想。

素元一定是既约元，因为如果素元 p = ab， p 当然整除 ab，于是 p 整除 a 或 b，不妨设 p 整除 a。另一方面 a 也整除 p，所以 a 不是 p 的真的约数，b 是可逆元。

反之，既约元却不一定是素元。比如中整除 6 = 2 × 3，但既不整除 2 也不整除 3。一个环如果满足条件“既约元都是素元”，就说它满足“素元条件”。

另一方面，如果一个环满足条件“不存在主理想（即由一个元生成的理想）的无穷严格递增链”，就说它满足“分解条件”。这个条件等于是说，不存在这样的无穷数列 a₁, a₂, a₃, … 其中每个 a_i 都是 a_{i - 1} 的真的约数。如果一个环满足分解条件，则对于环中的任意一元，如果它不是既约元就可以把它分解为两个真的约数的积，这两个真的约数中如果还有非既约元就再继续分解，这样一直下去由分解条件保证了总会到头。也就是说，如果一个环满足分解条件，那么这环中任何一元都可以分解为（有限个）既约元的积。

对于实际应用中的大多数环来说分解条件都是成立的（更进一步，实际应用中大部分的环都是Nöther环），但素元条件通常是不成立的。也就是说，这分解虽然存在，但分解通常不是唯一的。满足唯一分解条件的整环被称为UFD（Unique Factorization Domain，唯一分解整环）。

命题。对于整环 R，以下条件是等价的：
1) R 满足分解条件，并且 R 中任意两个元都有最大公约数
2) R 满足分解条件和素元条件
3) R 中任意元都分解为素元的积
4) R 中任意元都唯一分解为既约元的积

证明。 1) ⇒ 2) 我们需要先证明一些关于最大公约数的性质。首先 gcd ( a, b ) ∙ c = gcd ( ac, bc )。这是因为显然 gcd ( a, b ) ∙ c 既整除 ac 又整除 bc 所以整除 gcd ( ac, bc )，反过来设 gcd ( ac, bc ) = rc，则 ac = prc, bc = qrc；现在 R 是整环，所以 a = pr, b = qr，即 r 整除 gcd ( a, b )。然后我们证明，如果 gcd ( a, b ) = ( 1 ), gcd ( a, c ) = ( 1 )，则 gcd ( a, bc ) = ( 1 )。这是因为 gcd ( a, bc ) = gcd ( a ∙ gcd ( 1, c ), bc ) = gcd ( a, ac, bc ) = gcd ( a, gcd ( a, b ) ∙ c ) = gcd ( a, c ) = ( 1 )。现在我们证明如果任意两个元都有最大公约数，则既约元是素元：设 r 是既约元， r 整除 ab。取 r 和 a 以及 r 和 b 的最大公约数，由 r 的既约性，这最大公约数要么是 ( 1 ) 要么是 ( r )，而如果两个都是 ( 1 ) 那么 gcd ( r, ab ) 也是 ( 1 )，这和 r 整除 ab 矛盾。所以 gcd ( r, a ) 和 gcd ( r, b ) 中肯定至少有一个是 ( r )，这正是素元要满足的条件。 2) ⇒ 3) 是显然的。 3) ⇒ 4) 由于素元是既约元，所以分解是存在的。我们只要证明（忽略顺序和可逆元的因子）这分解是唯一的。对素元的个数使用归纳法。设素元 p₁, p₂, …, p_k 的积 p₁…p_k 又可以分解为既约元 r₁, r₂, …, r_n 的积 r₁…r_n。显然 p_k 整除 r₁…r_n。由素元的性质，存在一个 i 使得 p_k 整除 r_i。不妨设 i = n，现在 r_n 是既约元，所以 r_n = up_k 且 u 是可逆元。因为 R 是整环，所以 p₁p₂…p_{k - 1} = ur₁r₂…r_{n - 1}，于是可以对这个等式使用归纳法的假定。 4) ⇒ 1) 是显然的。 （证毕）

UFD的一个重要例子是PID（ Principal Ideal Domain，主理想整环），即任何理想都可以由一个元生成的整环。

对一个不一定可换的环 R 来说，如果把 R 本身看成是左 R-加群时这是一个Nöther加群（参见《一点点群论（一）》），则把 R 称为左Nöther环。 R 是左Nöther环的一个等价条件是 R 的所有左理想都是有限生成的。同样可以定义右Nöther环、左Artin环和右Artin环。对可换环来说左和右的区别就没有了。

PID显然是Nöther环。Nöther环的另一个等价说法是它满足极大条件，即不存在理想的无穷严格递增链。特别地，不存在主理想的无穷严格递增链，于是Nöther环都满足分解条件。下面我们证明PID满足素元条件：

命题。设 R 是PID，( a ) 是 R 的理想。则以下条件是等价的：
1) ( a ) 是极大理想
2) ( a ) 是素理想
3) a 是素元
4) a 是既约元

证明。 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) 是显然的。我们只要证明 4) ⇒ 1)。设 I 是包含 ( a ) 的极大理想，由于 R 是PID，所以 I = ( b )，所以 b 整除 a，现在 a 是既约元，所以 ( b ) 要么是 ( 1 ) 要么是 ( a ) ，而由极大理想的定义 ( b ) ≠ ( 1 )，所以 ( b ) = ( a )。（证毕）

在PID中，设 ( a ) + ( b ) = ( c ), ( a ) ∩ ( b ) = ( d )，则 c 是 a 和 b 的最大公约数， d 是 a 和 b 的最小公倍数。

PID当然是非常强的条件。但是比如说整数环 ℤ 就是PID。这是因为有辗转相除法的存在。一般地，一个可以实行辗转相除法的整环被称为Euclid整环：
如果整环 R 中的每一个元 a 都对应了一个自然数（或者更一般地说，某个良序集合的元） φ ( a )，并且对于 R 中任意一个非0元 q 和任意一个元 p，都存在一个 s 使得 p = sq + r 且 φ ( r ) < φ ( q )。这时就把 R 称为Euclid整环。

命题。Euclid整环是PID。

证明。设 R 是Euclid整环。对于 R 中的理想 I ≠ ( 0 )，把集合 { φ ( a ) | a ≠ 0, a∈I } 的最小元记为 m， I 中有一元 x 满足 φ ( x ) = m。我们证明 I = ( x )：对于 I 中任意元 p，存在 s 使得 p = sx + r 且 φ ( r ) < φ ( x )。现在 r = p - sx 当然是 I 的元，而由 x 的定义，能够满足 φ ( r ) < φ ( x ) 这条件的只能是 r = 0。（证毕）

对于Euclid整环中的任意两个元 a, b，想要求出满足 ( a ) + ( b ) = ( c ) 的 c，只要使用辗转相除法就可以了。注意辗转相除法不仅可以求出最大公约数的 c，并且还同时求出了使得 ax + by = c 的 x, y。

整数环是Euclid环。我们只要考虑通常的带余数的除法，φ ( a ) 定义为 a 的绝对值。
体 k 上的单变量多项式环 k [ X ] 是Euclid环，我们只要考虑通常的单变量多项式的带余式的除法，φ ( a ) 定义为多项式 a 的次数加一（ 0 的次数理解为 -1）。
Gauss整数环 ℤ [ i ] 也是Euclid环，这里 φ ( a + bi ) 定义为 a² + b²。对于任意的 p∈ℤ [ i ] 和 q ≠ 0 ∈ℤ [ i ]，总是存在 s∈ℚ [ i ] 满足 sq = p，现在令 s’ 是复平面上离 s 最近的 ℤ [ i ] 的元，把 | s’ - s | 设为 d，易知 d ≤ 。令 r = p - s’q，则 φ ( r ) = φ ( s - s’ ) φ ( q ) = d²φ ( q ) ≤ φ ( q ) / 2 < φ ( q )。

作为一个应用，我们来证明费马的一个著名定理：任何一个模 4 余 1 的素数都可以表示成两个整数的平方和。我们先证明模 4 余 1 的素数 p 在 ℤ [ i ] 中不再是既约元了：ℤ [ i ] 是Euclid整环所以是PID，于是 ℤ [ i ] 中的既约元就是素元。Wilson定理说素数 p 整除 ( p - 1 )! + 1，而 ( p - 1 )! ≡ ≡ ( mod p )
所以当 p 模 4 余 1 时 p 整除 ，但这个积中的和都不是 p 的倍数，所以 p 不是 ℤ [ i ] 中的素元。
于是 p 在 ℤ [ i ] 中分解为真约数的积 ab。我们有 p² = | a |² | b |²，现在 a 和 b 都不是可逆元所以 | a | 和 | b | 都不是 1，而 | a |² 和 | b |² 又都是整数，所以 | a |² = | b |² = p。特别地，设 a = s + ti，就有 | a |² = s² + t² = p。

理想有时候用大写字母 I, J 来表示，但更多时候（为了强调我们把注意力从元转移到了理想）用小写的花体字母（其实应该是德语字母，但是我找不到那样的字体，只好凑和了）a, b, c, … 来表示。由元 a, b, …, c 所生成的理想（即把环本身看成是那个环上的加群而由 a, b, …, c 所生成的子群）通常写为 ( a, b, …, c )。对于理想 I、J， I + J 理解为所有形如 a + b ( a∈I, b∈J ) 的元所组成的集， I ∙ J 理解为所有形如 ∑ a_ib_i ( a_i∈I, b_i∈J, 实质上的有限和 ) 的元所组成的集。易知 I + J, I ∙ J, I ∩ J 都是理想，并且显然有 ( a ) + ( b ) = ( a, b )， ( a ) ∙ ( b ) = ( ab )，I ∙ J ⊆ I ∩ J。对于环中的元 a、 b，说 a 整除 b，即存在一个元 c 使得 ac = b，等于是说 ( a ) ⊇ ( b )。

关于理想是如何左右环的性质，我想从下面这个命题中已经可以看出一些来：

命题。环 R 是一个体，当且仅当 R 中的理想只有 ( 0 ) 和 R 本身。

证明。首先如果 R 是体，则 R 的任意非0元都是可逆的，于是 R 的理想只要含有非0元，就一定含有 1。反之，如果 R 中的理想只有 (0) 和 R 本身，也就是说任意一个非0元 a 所生成的理想 ( a ) = R，即 ( a ) 中含有 1，所以存在 b 使得 ab = 1。（证毕）

推论。设有从 K 到 R 的环同态，并且 K 是体。则 K 的像如果不是 0，这环同态就是单射。这是因为环同态的核是 K 的理想，于是由上面的命题立得。

理想中尤其重要的是素理想。环 R 的素理想定义为满足下面条件的理想 p：
1) 1∉p
2) 如果 a∉p, b∉p, 则 ab∉p。这个条件的逆否也经常用到，即如果 ab∈p，则 a 或者 b 中肯定有一个已经是 p 的元。
这两个条件也可以合起来写成，R ∖ p 是一个乘法系。

命题。 p 是 R 的素理想 ⇔ R / p ≠ 0 是整环。

证明。 素理想的第二个条件等于说是，如果 a ≠ 0 ( mod p ), b ≠ 0 ( mod p )，则 ab ≠ 0 ( mod p )。这正是商环 R / p 是整环的条件。（证毕）

推论。对于 P ⊇ I， P 是 R 的素理想 ⇔ P / I 是 R / I 的素理想。这是因为根据第三同构定理我们有 R / P ≅ ( R / I ) / ( P / I )。

推论。设有环同态 f: A → B，则如果 P 是 B 的素理想， f^-1 ( B ) 就是 A 的素理想。这是因为令 f^-1 ( B ) = p，则 f 诱导出 从 A / p 到 B / P 的单射，而整环的子环显然是整环。（如果你不喜欢这个证明，直接从定义来证也是容易的）

素理想的一个特例是极大理想，即 R 中不等于 R 的、关于包含关系极大的理想 m。由商环的理想对应，m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 的理想只有 ( 0 ) 和 R / m 本身。于是我们得到， m 是 R 的极大理想 ⇔ R / m 是体。体当然是整域，所以极大理想是素理想。

更一般地我们有下面的命题：
命题。设 S 是环 R 中不含 0 的乘法系。则 R 中与 S 不交的、关于包含关系极大的理想 p 一定存在，并且 p 是素理想。（特别的，如果 S = { 1 }，那这与 S 不交的关于包含关系极大的理想就是极大理想）

证明。 R 中所有与 S 不交的理想关于包含关系做成一个归纳的偏序集合，这集合中有 ( 0 ) 所以非空，于是根据Zorn引理，极大元是存在的。设 p 是这样的极大元，并设 a∉p, b∉p，则根据极大元的定义 ( a ) + p ∩ S ≠ ∅, ( b ) + p ∩ S ≠ ∅，于是存在 r, s ∈R， p, q ∈p 使得 ra + p ∈S, sb + q ∈S。现在 S 是乘法系，所以 ( ra + p )( sb + q ) ∈S，而 ( ra + p )( sb + q ) = rsab + ( sbp + raq + pq )，等式右边括号里是 p 的元，所以如果 ab∈p 的话等式右边就是 p 的元了，这和 p ∩ S = ∅ 矛盾。因此 ab∉p。（证毕）

如果你不喜欢这个证明，还有一种证法是这样：考虑局部化 f: R → R_S，取 R_S 中的极大理想 I 这当然是 R_S 中的素理想，于是 f^-1 ( I ) 是 R 中的素理想，易知这素理想与 S 不交。接下来我们会看到事实上 R 中与 S 不交的素理想是与 R_S 中的素理想一一对应的，这就是下面被称为“局部化的理想对应”的命题：

命题。设 S 是 R 的乘法系， f: R → R_S 是 R 的局部化。这时把 R_S 的理想 J 映到 R 的理想 I := f^-1 ( J )（一般来说，假设有环同态 f: A → B，则 B 的任意一个理想 J 的原像 f^-1 ( J ) 也是 A 的理想；但反之对于 A 的理想 I， f ( I ) 却不一定是 B 的理想）给出了一个映 R_S 的理想到 R 的理想的单射。这时 J 正好是 f ( I ) 在 R_S 中所生成的理想。存在于这单射的像中的 R 的理想 I 由下列特征来刻画：如果存在 s∈S 使得 sa∈I，则 a∈I。特别的，R_S 中的素理想和 R 中与 S 不交的素理想一一对应。

证明。设 R_S 中有两个不同的理想 J, L。不妨设 L ∖ J ≠ ∅。这时从 L 中取出一个不属于 J 的元 r / s ( r∈R, s∈S )，则 f ( r ) = r / 1 不可能属于 J，但 r 却是 f^-1 ( L ) 中的元。于是 f^-1 ( L ) ≠ f^-1 ( J )。所以这理想对应是单射。如果 I = f^-1 ( J )，由于 f ( I ) 生成的理想是其原像包含 I 的 R_S 中最小的理想，所以由理想对应的单射性 J 就是由 f ( I ) 生成的。因此能被对应到的 R 中的理想就是满足条件 f^-1 ( f ( I ) ) = I 的理想 I，把这具体写出来就是命题中的条件。根据这个条件，由素理想的定义立知 R 中与 S 不交的素理想都是能够被 R_S 中的某个理想对应到的。现在设 p 是 R 中与 S 不交的素理想，则 f ( p ) 生成的 R_S 中的理想 P 也是素的，因为这时 r / s ∈P ⇔ r∈p，所以如果 r / s ∉P, t / u ∉P 则 rt∉p 于是 rt / su ∉P。（证毕）

在代数几何中，把可换环看成是一个几何的对象，这几何对象的点就是这环的素理想。因此局部化相当于说是取出其中一部分的点来考察，这也是“局部化”这名称的由来。

假设有环同态 f: A → B 和 B 中的理想 J，如果这 f 是自明的或规定好的，这时出于简便起见我们通常把 f^-1 ( J ) 写为 J ∩ A。对于 A 中的理想 I 则把 f ( I ) 生成的 B 中的理想写为 IB。

命题。取商的操作和局部化的操作是可换的。也就是说，设有环 A，A 中的乘法系 S，以及 A 的理想 I。把 S 在 A / I 中的像记为 S’。则 ( A / I )_S’ 与 A_S / IA_S 自然地同构。

证明。定义从 A_S 到 ( A / I )_S’ 的同态映射把 a / s 映到 [ a ] / [ s ]。这显然是全射，下面来计算它的核： [ a ] / [ s ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. [ a ][ t ] = 0 ⇔ ∃t∈S s.t. at∈I ⇔ a / s ∈ IA_S。所以这核是 IA_S。（证毕）

不同的乘法系的局部化是可能相同的。对于一个乘法系 S，把 S 中的元的所有约数（即整除 S 中某个元的数）都收集起来，就作成了一个比 S 大的乘法系 T，但是用 T 来局部化和用 S 来局部化是一样的，因为如果 ut = s，我们就可以把 r / t 看成是 ur / s。这个 T 被称为 S 的饱和化。

命题。 R ∖ T 是所有与 S 不交的素理想的合并。T = { r∈R | r / 1 是 R_S 的可逆元 }。

证明。首先与 S 不交的理想也一定与 T 不交，然后对于 R ∖ T 的任意一元 a， ( a ) 与 T 不交，所以存在包含 ( a ) 而又与 T 不交的极大的理想，这当然是素理想。这就证明了命题的前半部分，后半部分由前半部分和局部化的理想对应立得。（证毕）

设有环 R 和 R 的素理想 p。 R ∖ p 当然是乘法系，关于这个乘法系的局部化记为 R_p。这其实是个很糟糕的记号（R_p 和 R_{R ∖ p} 是一个东西！），但是出于惯例，而且一般也不大会引起误解。（在Bourbaki里乘法系 S 的局部化就改用了 S^-1R 来表示，但也许是这样子记法不够酷吧，现在大家似乎都不用）

由局部化的理想对应，环 R_p 中只有一个极大理想 pR_p。一般地把只有一个极大理想的环称为局部环。显然局部环中不属于那个极大理想的元都是可逆的。局部环的例子，除了局部化以外还有幂级数环：

命题。局部环 A 上的幂级数环 A [[ X ]] 也是局部环。

证明。设 A 的极大理想为 m。则 A [[ X ]] 中所有形如 m + a₁X + a₂X² + a₃X³ + … ( m∈m, a_i∈A ) 的元做成 A [[ X ]] 的一个理想 I，我们证明这是唯一的极大理想。为此只要说明 A [[ X ]] ∖ I 的元都是可逆的就好了。这由通常的幂级数的除法立刻就可以看出：用 u + a₁X + a₂X² + … ( u 是 A 的可逆元 ) 去除 1，得到 u^-1 - u^-2a₁X + u^-2 ( u^-1a₁² - a₂ ) X² + … 。（证毕）

下面是一个表现出素理想的“素”性的命题，被称为“lemma of prime avoidance”。
命题。设 p₁, p₂, …, p_r 和 P 都是素理想，则
1) p₁p₂…p_r ⊆ P ⇒ ∃i s.t. p_i ⊆ P
2) P ⊆ p₁ ∪ p₂ ∪ … ∪ p_r ⇒ ∃i s.t. P ⊆ p_i

证明。 1) 如果 ∀i p_i ⊈ P，则我们可以从每个 p_i 中取出一个不属于 P 的元 a_i。于是 a₁a₂…a_r 不属于 P （因为 P 是素理想）但却是 p₁p₂…p_r 的元，矛盾。 2) 我们只要证明总是存在一个 i 使得 P ⊆ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，然后对 r 应用归纳法即可。如果 ∀i P ⊈ p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，则对每个 i，可以从 P 中取出一个元 a_i 不属于 p₁ ∪ … ∪ p_{i - 1} ∪ p_{i + 1} ∪ … ∪ p_r，这时当然 a_i∈p_i。考虑元 a₂…a_r + a₁a₃…a_r + … + a₁a₂…a_{i - 1}a_{i + 1}…a_r + … + a₁…a_{r - 1}，这个和中除第 i 项不是 p_i 的元（因为 p_i 是素理想）之外其余都是 p_i 的元，因此这个和不属于任何一个 p_i，但它显然是 P 的元，矛盾。（证毕）

从证明中可以看出这个命题的 1) 中没有用到各 p_i 的素性， 2) 中则没有用到 P 的素性，因此它们各自都是可以加强的。但为了美观起见，而且在通常的应用中这样的陈述已经足够了。

由 1) 立即得到，如果 p₁ ∩ … ∩ p_r ⊆ P，则 P 包含某个 p_i。这是因为 p₁…p_r ⊆ p₁ ∩ … ∩ p_r 的缘故。

p 是 R 的素理想当且仅当 R / p 是整环。而整环的意思是除了 0 以外没有 0因子。所以从直观上说我们只要把 0因子模掉就应该可以得到一个整环。这就是下面的命题。

命题。（关于包含关系的）极小素理想的元都是 0因子。

证明。环 R 中的所有非 0因子作成一个乘法系。把这乘法系记为 S。而对于 R 中任意一个素理想 P， R ∖ P 也作成一个乘法系，记为 T。由这两个乘法系所生成的乘法系 ST 不含 0，因为 T 不含 0 而 S 中又都是非 0因子。因此存在与 ST 不交的关于包含关系极大的理想 p，这 p 显然是包含于 P，其元都是 0因子的素理想。（证毕）

定义。设 R 是环， I 是 R 中的理想。I 的根定义为集合 { a∈R | ∃n∈ℕ s.t. aⁿ∈I }，即其幂属于 I 的所有元组成的集合，写为 rad ( I )。容易看出 rad ( I ) 是一个理想。满足 rad ( I ) = I 的理想 I 称为根理想。

根的下面三条性质是容易的：
1) rad ( I ) ∩ rad ( J ) = rad ( I ∩ J ) = rad ( I ∙ J )
2) 设 I ⊆ J，则 rad ( I ) ⊆ rad ( J )
3) 设 I ⊆ J，则 rad ( J ) / I = rad ( J / I )

素理想显然是根理想。 ( 0 ) 的根是由 R 中所有幂零元所组成的，这特别写为 nil R。

命题。 rad ( I ) = ∩ p ( p 跑过所有包含 I 的素理想 )。特别地， R 中所有素理想的交正是 nil R。

证明。如果 I 不是 ( 0 )，我们只要考虑 R / I 就将其化为 I = ( 0 ) 的情形。现在显然 ( 0 ) ⊆ ∩ p，在两边取根就得到 nil R ⊆ ∩ rad ( p ) = ∩ p。反方向的包含关系，对于不属于 nil R 的任意元 a，乘法系 { 1, a, a², a³, … } 都不包含 0，所以存在和这乘法系不交的素理想。（证毕）

对一般的环来说只能将根理想像这样表示成素理想的交，像Dedekind环中“任意一个理想唯一表示成有限个素理想的积”这样的美好性质通常是不成立的。关于Dedekind环的详细内容放在下下节。

环的扩张

设 B 是环， A 是 B 的子环。设 a, b, c, … 是 B 的一些元，则 A [ a, b, c, … ] 理解为 B 中那些可以表成以 A 中元为系数的 a, b, c, … 的多项式的元的集。这是 B 中包含 A 和 a, b, c, … 的最小的环。这被称为把 a, b, c, … 添加于 A 中而生成的环，a, b, c, … 称为其（在 A 上的）生成系。当生成系是有限的时候，就称之为 A 上的有限生成代数。注意一个 A 上的代数作为 A-代数的有限生成性和它作为 A 加群的有限生成性是完全不同的概念。

环的扩张的最重要的例子大概是 ℤ 在 ℂ 中的扩张。粗略地说数论就是研究 ℤ 在 ℂ 中的各种扩张环，比如说 、 之类的性质。

多项式环

以 X₁, X₂, …, X_n 为变元的环 A 上的多项式环写为 A [ X₁, X₂, …, X_n ]。显然我们有 A [ X₁, X₂, …, X_r ] [ X_{r + 1} ] = A [ X₁, X₂, …, X_r, X_{r + 1} ]。环 A 的扩张 A [ a₁, a₂, …, a_n ] 可以看成是 A [ X₁, X₂, …, X_n ] 的某个商环。更一般地说，对任意一个 A-代数 B 和 B 中的任意 n 个元 b₁, b₂, …, b_n，都唯一存在一个从 A [ X₁, X₂, …, X_n ] 到 B 的 A-代数的同态映射，把各 X_i 映到 b_i。一般来说像多项式环中的 X₁, X₂, …, X_n 这样相互之间没有任何关系的独立变量用大写字母来表示，而像 b₁, b₂, …, b_n 这样相互之间可能有关系的元则用小写字母。

幂级数环

以 A 的元为系数、 X₁, X₂, …, X_n 为变元的形式上的幂级数所组成的环记为 A [[ X₁, X₂, …, X_n ]]。和多项式环一样，对幂级数环我们也有 A [[ X₁, X₂, …, X_r ]] [[ X_{r + 1} ]] = A [[ X₁, X₂, …, X_r, X_{r + 1} ]]。

局部化

定义。环 A 的子集 S 称为乘法系，如果 S 满足条件： 1∈S; ∀ a, b ∈S，ab∈S。

以一个乘法系 S 的元为分母，A 的元为分子构成的所有分数组成分数环称为 A 的局部化，写为 A_S。具体说来， A_S 由形如 a / s ( a∈A, s∈S ) 的元组成，并且把 a / s 和 b / t 看成是一样的，如果存在 S 的元 u 使得 atu = bsu。不难确认这是一个等价关系，并且在 A_S 中定义了加法和乘法，如同通常的分数的加法和乘法一样。

自然地有一个从 A 到 A_S 的环同态，把 A 的元 a 映到 A_S 的元 a / 1。由定义，A_S 的元 a / s = 0 当且仅当 ∃u∈S s.t. ua = 0，所以当 S 中包含 0 的时候 A_S 是 0环。令一方面当 A 是整环时 A 到 A_S 的那个映射是单射。特别地在这时 A 中所有的非0元作成一个乘法系， A 关于这个乘法系的局部化显然是一个体，称为 A 的分数体。这时 A 的任何一个局部化都可以看成是这分数体的一个子环。

局部化的第一个例子当然是 ℤ 的分数体 ℚ。对于环 A 的任意元 f，集合 { 1, f, f², f³, … } 显然是 A 的一个乘法系，关于这个乘法系的局部化通常写为 A_f。

至于这个名字“局部化”的由来，大概必须得知道一点代数几何才能理解。

半群环

设 S 是一个可换的幺半群。则半群环 A [ S ] 定义为在以 S 中的元为基生成的 A 上的自由加群中根据 S 的半群结构定义乘法而构成的环。具体说来就是， A [ S ] 的元唯一表示成 ∑ a_is_i ( a_i∈A, s_i∈S ) 的形式，并且这求和中只有有限个 a_i 不为 0（这条件有时被称为实质上的有限和）。 A [ S ] 中的乘法定义为， ( a_is_i ) ∙ ( a_js_j ) := ( a_ia_j )( s_is_j )，其中 a_ia_j 环 A 中的乘法， s_is_j 是半群 S 中的乘法。然后对于 ( ∑ a_is_i ) ∙ ( ∑ b_js_j ) 只要应用乘法分配律即可。

比如说自然数关于加法作成的半群 ℕ 所生成的半群环 A [ ℕ ] 正是多项式环 A [ X ]。更一般的， A [ ℕⁿ ] = A [ X₁, …, X_n ]。

半群环的最重要的例子大概是 ℤ^d 中由有限个元 a₁, a₂, …, a_n 所生成的半群 S 作成的半群环 A [ S ]。其中 a₁, a₂, …, a_n 都配置在 ℤ^d 的某个不通过原点的超平面上。这样一个环被称为 toric ring，在组合代数、代数几何和弦论中都是重要的研究对象。

直积

环 A 和 B 的直积 A × B 理解为，对集合 A × B 的两个元 ( a₁, b₁ ) 和 ( a₂, b₂ )，规定它们的和与积分别为 ( a₁ + a₂, b₁ + b₂ )、 ( a₁a₂, b₁b₂ )。更一般地，一大堆环 A_λ ( λ∈Λ ) 的直积定义为在集合 ∏ A_λ 中以各个坐标分别相加、相乘作为加法、乘法而构成的环。

张量积

设有 A-代数 B 和 C。则 B 和 C 作为 A-加群的张量积 B ⊗_A C 也是一个环。特别地， A [ X ] ⊗_A A [ Y ] = A [ X, Y ]。

归纳极限和射影极限

环的归纳系和射影系的极限都仍旧是环。张量积、归纳极限和射影极限的详细，放在下下章《同调代数》中。

1. 加法交换律。 a + b = b + a
2. 加法结合律。 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. 存在 0，对于任意 a 都有 0 + a = a
4. 对于任意 a，都存在 a 的相反数 -a，满足 a + ( -a ) = 0
5. 乘法结合律。 ( ab ) c = a ( bc )
6. 存在 1，对于任意 a 都有 1a = a1 = a
7. 分配律。 ( a + b ) c = ac + bc， c ( a + b ) = ca + cb

如果这乘法还满足交换律 ab = ba，则称为可换环。 0 和 1 都是唯一的，这和群的情况一样。而由分配律，我们对任意的 a 有 a = ( 0 + 1 ) a = 0a + a，所以 0a = 0。同样可证 a0 = 0。所以如果在某个环中有 0 = 1，则这个环只能有 0 = 1 这一个元。把这样的环称为0环。

对于环中的元 a，如果存在 b ≠ 0 使得 ab = 0，就把 a 称为左0因子。同样地可以定义右0因子。如果一个可换环除了 0 之外其他元都不是0因子，就把它称为整环。整环的所有非0元关于乘法做成可换的幺半群。整环的这个幺半群如果做成一个群，即如果非0元的乘法总是可逆的，则把这整环称为域。域的例子有有理数域 ℚ，实数域 ℝ，复数域 ℂ。如果把域的“乘法可换”的条件去掉，只要求所有非0元关于乘法做成一个群，这就称为一个体。特别把乘法不可换的体称为斜体。斜体的例子有四元数体 ℍ。

环的最初的例子是整数环，即所有整数关于加法和乘法做成的环，这是一个整环，记为 ℤ。

环 A 到环 B 的（关于环的）同态映射 f 定义为满足条件： f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )、 f ( ab ) = f ( a ) f ( b )，还有 f ( 1 ) = 1 的映射。环的同态映射如果是全单射，那它也是同构。

对于任意的环 A，我们都有从 ℤ 到 A 的唯一的同态映射 f： f 必须把 ℤ 的 1 映到 A 的 1，而 ℤ 的任意一个大于 0 的元 n 可以写成n个 1 相加，于是 f 必把 n 映到 A 中的n个 1 相加的和。 ℤ 中任意一个小于 0 的元 -n 又是 n 的相反数，于是它的像也是确定的。容易看出这样定义的映射总是同态映射，并且 ℤ 在 A 中的像与 A 中的所有元都是关于乘法可换的（因为这像总是若干个 1 的和或其相反数）。

一般地，我们把环 B 称为可换环 A 上的代数，如果规定好了一个从 A 到 B 的环同态，并且在这环同态下 B 的任意元都是和 A 的像关于乘法可换的。（ B 中与所有元关于乘法可换的元全体做成 B 的一个子环（子环的定义该是明显的吧），把这子环称为 B 的中心，写成 C_B。于是 B 是 A 上的代数也就是说指定了一个从 A 到 C_B 的环同态。）从上一段中我们知道任意一个环都可以看成是 ℤ 上的代数。（从“代数”这个夸张的名字，你也可以看出环和环的同态映射在整个代数学中占有多大的分量）

A-代数 B 到 A-代数 C 的（作为 A-代数的）同态映射定义为从 B 到 C 的满足条件： f ∘ τ_B = τ_C 的环的同态 f。其中 τ_B 和 τ_C 分别是规定好的从 A 到 B 和从 A 到 C 的环同态。

代数的最初的例子是域 k 上的多项式环 k [ X₁, X₂, …, X_n ]，即变元 X₁, X₂, …, X_n 的所有 k 系数多项式所组成的环。 k 到 k [ X₁, X₂, …, X_n ] 的环同态，当然是理解为把 k 的元原封不动地映成 k [ X₁, X₂, …, X_n ] 中的常数多项式。

我们看到 A-代数的概念是“相对于 A 来说的”，也就是说代数的概念是环的概念的相对版本。“数学应该是相对的”（Grothendick语），这话虽然我还没有太透彻地理解，但它到底是伟大的Grothendick说的。这大体的意思和范畴论的思想差不多，也是说我们与其讨论一个环 A（或者其他的什么结构）的性质，还不如讨论一个在XX上的代数 A，也就是从XX到 A 的映射的性质。以多项式环为例，我们讨论多项式环的结构，而不关心 k 具体是什么。

环上的加群定义为有环作用于其上的加群。要求这环的作用满足：环上的加法与加群上的加法一致，环上的乘法与作用的合成一致。如果环是非可换的，那么和群的作用一样这也有从左边作用还是从右边作用的区别。具体说来如果有一个环 R，则左 R-加群定义为这样的加群 M：

1. R 中任意一元 r 都对应了 M 到其自身的一个（作为加群的）同态映射（即在 M 上的作用）
2. 把 R 的作用写在左边，则作用的合成与 R 的乘法一致。即，对于 R 中的元 r 和 M 中的元 x，把 r 作用于 x 得到的像记为 rx，则对 R 中任意两元 r、 s 都有 r ( sx ) = ( rs ) x（先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 sx，得到的像正好是把 rs 作用于 x 得到的像）。
3. R 的加法与 M 的加法一致。即对于 R 中两元 r、 s 和 M 中一元 x，有 ( r + s ) x = rx + sx

同样地可以定义右 R-加群。而对于环 R、 S，两侧 ( R, S )-加群 M 定义为： M 既是左 R-加群又是右 S-加群，并且 R 的作用与 S 的作用是可换的。具体写出来就是，对于 R 的元 r、 S 的元 s 和 M 的元 x，有 ( rx ) s = r ( xs )，即先把 r 作用于 x 再把 s 作用于 rx，或是先把 s 作用于 x 再把 r 作用于 xs，得到的结果是一样的。

环 R 本身可以看成是两侧 ( R, R )-加群。如果有环同态 f: R → S，则任意左 S 加群可以通过 f 看成是左 R-加群，右 S-加群也是一样。特别的， S 可以看成是两侧 ( R, R )-加群。对于任意的加群 M，把 M 的自同态环定义为由所有 M 到其自身的同态映射，以映射的合成作为乘法做成的环。环的加法是这样定义的：设有从 M 到 M 的同态映射 f、 g，则 f + g 定义为把 M 的元 x 映到 f ( x ) + g ( x ) 的映射，由于加法是可换的所以这是一个同态映射。不难验证这样的定义确实做成了一个环。这个环通常写为 End ( M )，如果按照习惯把映射写在左边， M 可以看成是左 End ( M )-加群。由于任意的环都可以看成是 ℤ 上的代数，所以任意的环上的加群都可以看成是 ℤ-加群。特别的，Abel群都可以看成是 ℤ-加群。容易看出Abel群的子群和它作为 ℤ-加群的子群是一致的。这样环上的加群的理论就完全涵盖了Abel群的理论。

环上的加群的同态映射就是考虑了环的作用的群的同态映射，《一点点群论（一）》中的定义和定理都完全适用。当 R 是可换环时， R-加群的同态映射有时被称为 R-线性映射。

环 R 本身可以看成左 R-加群，所以我们可以考虑 R 中的左 R-子群。这有一个特别的名字叫做 R 中的左理想。同样地可以定义右理想和两侧理想。当 R 是可换环时，就称为理想。这可是数学中少有的浪漫名字，我在这里不说它的来源，你尽可以发挥想象。不过注意请不要混淆子环的概念和理想的概念。子环定义为环中包含 0、 1，关于乘法（自己的元之间的乘法）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想则是环中包含 0，关于 R 的作用（也就是乘以 R 中任意一元）、加法和取相反数操作封闭的子集。理想中如果含有 1，那它一定是 R 全体。

环 R 模它的左（右）理想得到的商当然是左（右） R-加群。而 R 模它的两侧理想，得到的商不仅有两侧 ( R, R )-加群的结构，还具有环的结构。这称为 R 的商环。为了看到这一点，我们设 R 的两侧理想为 I，对于 R 中任意两元 a、 b，有，而 I 是两侧理想，所以，于是乘法是well-defined的。商环通常写为 R / I， R 的两个元 a、 b 在 R / I 中的像如果相等，就写为 a = b ( mod I )。

如果 f: A → B 是一个环同态，（与群的情况类似）把 f ( A ) 称为 f 的像，写成 Im f， f^-1 ( 0 ) 称为 f 的核，写成 Ker f。容易看出 Im f 是 B 的子环， Ker f 是 A 的两侧理想。如果 f 是全射，则 f 自然诱导出从商环 A / Ker f 到 B 的同构。这时 B 的左 B-子群，与通过 f 把 B 看成左 A-加群时的左 A-子群是一致的。并且 f 显然也是 A-加群的同态映射。于是根据群的第一同构定理， B 的左理想与 A 中包含了 Ker f 的左理想之间存在一一对应。把这段话中的“左”全部换成“右”或者“两侧”也是成立的。这就是所谓的理想对应。